Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
01 Июн 2013
17 Задание (2022) (C6)ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

Задача с параметром. Задание С5

Решим задачу из Задания С5 для  подготовки к ЕГЭ  по математике:

Найдите все значения параметра a,при каждом из которых уравнение ax+sqrt{-7-8x-x^2}=2a+3 имеет единственное решение.

Будем решать задачу графическим способом. Оставим корень слева, а все остальное перенесем вправо. Представим  наше уравнение в виде системы

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y=2a-ax+3} {y=sqrt{-7-8x-x^2}} }}{ }

Построим график каждой функции и найдем, при каком значении параметра графики имеют единственную точку пересечения.

Первая функция: y=2a-ax+3

Вынесем a за скобку:

y=a(2-x)+3

y=-a(x-2)+3

График этой функции представляет из себя семейство прямых,  которые имеют различный коэффициент наклона  и общую точку с координатами (2;3):

Вторая функция: y=sqrt{-7-8x-x^2}

Преобразуем выражение под корнем - выделим полный квадрат:

sqrt{-7-8x-x^2}=sqrt{-7-(8x+x^2)}=sqrt{-7-(16+8x+x^2-16)}=sqrt{-7+16-{(x+4)}^2}=sqrt{9-{(x+4)}^2}

График функции y=sqrt{9-{(x+4)}^2} представляет из себя полуокружность с центром в точке (-4;0) и радиусом 3.

Определим, при каком коэффициенте наклона прямая имеет с полуокружностью одну точку пересечения:

Мы видим, что прямые, заключенные между прямыми AB и CB имеют с полуокружностью одну общую точку. Прямая AB  имеет одну общую точку, а прямая  CB - две. Прямая DB также имеет с полуокружностью одну общую точку.

Найдем коэффициенты наклона этих прямых. Для этого мы рассмотрим соответствующие прямоугольные треугольники:

Коэффициент наклона прямой  AB равен 1.

Коэффициент наклона прямой CB равен 3/9=1/3.

Коэффициент наклона прямой DB равен нулю.

Итак, прямая и полуокружность имеют одну общую точку, если 1/3<-a<=1 и a=0.

Умножим первое неравенство на -1 и получим

Ответ: -1<=a<-1/3; a=0

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Задача с параметром. Задание С5
| Отзывов (39)

Отзывов (39)

Следующие комментарии →
  1. Никита
    в 03:58

    Скажите, пожалуйста. Как вы узнали, что второй график является полуокружностью ? Да еще с радиусом 3 ? Завтра ЕГЭ, хотелось бы узнать.
    Ответить
    • Никита
      в 04:05

      Уже сам разобрался, у вас в одном из уроков было такое (про полуокружность).
      Ответить
  2. Никита
    в 04:13

    Кстати. Вы знак забыли поменять у 1/3, когда от -а к а переходили.
    Ответить
    • Никита
      в 04:14

      Знак числа
      Ответить
  3. Анна
    в 09:06

    Очень всё доходчиво и понятно объяснено! Спасибо)
    Ответить
  4. Иван
    в 11:18

    надо ли подкоренное ОДЗ учитывать?
    Ответить
    • Инна
      в 12:15

      Нет, само учитывается
      Ответить
  5. Елена
    в 12:04

    спасибо большое. Очень своевременно
    Ответить
  6. Эльвира
    в 12:25

    Очень благодарна Вам за такой прекрасный, информативный сайт! Инна Владимировна, подскажите пожалуйста, где можно найти материал, в котором подробно объясняется, как выполнить построение семейства прямых, о которых говорится в данном примере?
    Ответить
  7. Виктор
    в 16:42

    Всё ясно, кроме: Почему -1 «меньше или равно» A, а -1/3 просто «больше» А ?
    Ответить
    • Инна
      в 16:48

      Потому что прямая с к=1/3 имеет 2 точки пересечения
      Ответить
      • Виктор
        в 16:56

        И как построены прямые на 1-ом рисунке?
        Или можно просто провести прямые, главное через эту точку?
        Ответить
        • Инна
          в 17:03

          главное через эту точку — это семейство прямых с разным коэффициентом наклона
          Ответить
          • Виктор
            в 17:14

            Спасибо большое!
            Хороший сайт, всё ясно и понятно)
            Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *