В этой статье мы рассмотрим задачу с параметром, решение которой основано на использовании ограниченности функции. Решение похожей задачи смотрите здесь.
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений .
Решение. показать
Преобразуем исходное уравнение к виду:
.
Структура этого уравнения такова:
.
Уравнения такого типа решаются с помощью введения вспомогательного угла:
, где 
(1)
В силу ограниченности функции 
уравнение (1) имеет решения, если 
.
Используем этот факт при решении задачи.
В нашем случае: 
Так как 
получим ограничения на параметр:
Решим это неравенство. Возведем обе части в квадрат и умножим на знаменатель:
Разделим обе части на 
:
Отсюда 
.
или 
Тогда 
или 
.
Рассмотрим два случая:
1)
Тогда
,
В этом случае получим уравнение:
Умножим обе части на 
и разделим на 
. Получим:
2)
Тогда
,
В этом случае получим уравнение:
Умножим обе части на и разделим на . Получим:
.
Итак, получили
Ответ: при 
, ;
при 
, .
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
, при каждом из которых уравнение 
Красивое, даже ювелирное решение. А можно ли эту задачу как-то по-другому решить?
Может быть и можно, но другое решение в голову не пришло.
Очень интересная задача и оригинальное решение. Спасибо