ДВИ в МГУ, 14.07.2107. Вариант 2, задача 6. Текстовая задача.
Анатолий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта 
нужно добраться вверх по реке до пункта 
, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Анатолий вызвался самостоятельно доехать до пункта на самом быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта . Однако, промчавшись 
км, Анатолий заметил на берегу машущего ему рукой Бориса, который просил по старой дружбе довезти его до пункта 
. И хоть пункт Анатолий уже проехал, он согласился. По пути в пункт Анатолий с Борисом встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Анатолия, откуда те крикнули, что пункт уже совсем близко, и чтобы Анатолий нигде не задерживался. Доставив Бориса в пункт , Анатолий немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Анатолия от момента встречи с ним и Борисом, если известно, что оба катера пришли в пункт одновременно, расстояние между пунктами и равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Анатолий действительно нигде не задерживался.
Решение. показать
Сделаем рисунок:
В пункте 
встретились Анатолий и Борис, в пункте 
Анатолий с Борисом встретили друзей Анатолия.
Пусть расстояние между пунктами и равно 
, и пусть расстояние между пунктами и составляет 
- ю часть всего пути.
Пусть скорость катера Анатолия по течению равна 
, скорость катера друзей Анатолия равна 
, скорость течения равна 
, тогда скорость катера Анатолия против течения равна 
.
Составим уравнения для описания встречи в пункте и в пункте .
До встречи Анатолия с Борисом с друзьями Анатолия в пункте Анатолий проплыл путь, равный 
; 
.
Участок 
Анатолий проплыл по течению, а участок 
- против.
За это время друзья Анатолия на втором катере проплыли путь 
Анатолий и друзья Анатолия были в пути одинаковое время.
Получаем уравнение:
До встречи с друзьями в пункте Анатолий проплыл путь, равный 
по течению и участок 
против течения.
Друзья Анатолия за это время пропыли путь .
Получаем второе уравнение:
Получили систему уравнений:
Вычтем из второго уравнения первое.
Получим уравнение:
Получим систему:
Приведем правые части уравнений к общему знаменателю:
Разделим первое уравнение на второе:
Умножим обе части на знаменатель,
получим:
Ответ:
2 способ.
После того, как мы выразили длины отрезков пути через и , задачу можно было решить другим способом.
Нарисуем график движения:
Зеленая ломаная изображает движение катера Анатолия. Участки и 
- движение по течению с постоянной скоростью. Эти участки изображены параллельными отрезками. Участок - движение против течения.
Красная прямая изображает движение катера друзей Анатолия. Катер двигался с постоянной скоростью в одном направлении.
Точки и - точки встречи катера Анатолия и катера его друзей. Длины участков 
и мы нашли ранее.
Рассмотрим треугольники 
и 
. Они подобны по двум углам (
как накрест лежащие,
как вертикальные), следовательно,
Подставим длины участков пути:
По свойству пропорции получим:
Разделим обе части равенства на 
:
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике
