Задание 4. Окружность проходит через вершины 
и 
трапеции 
, пересекает основание 
в точке 
и касается стороны 
в точке . Длины и
равны соответсвенно 
и 
, угол 
равен 
, высота трапеции меньше 
. Чему равна длина боковой стороны 
?
Проведем отрезки 
и 
.
как накрест лежащие. 
по свойству угла между касательной и секущей.
, так как трапеция, вписанная в окружность является равнобедренной.
Найдем длину отрезка из треугольника 
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. Отсюда
Пусть 
. Получим уравнение: 
, 
- посторонний корень.
То есть 
.
Далее воспользуемся теоремой косинусов.
или 
Рассмотрим оба случая:
Пусть 
а)
Запишем теорему косинусов для треугольника 
:
Перенесем все в одну сторону, умножим на 3, получим квадратное уравнение:
Сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух двух других, отсюда 
.
Легко проверить, что этому неравенству удовлетворяет только
б)
Перенесем все в одну сторону, умножим на 3, получим квадратное уравнение:
Так как все коэффициенты этого уравнения положительны, это уравнение имеет только отрицательные корни, что не подходит по смыслу задачи.
Итак, 
Ответ: 
и 
трапеции 
, пересекает основание 
в точке 
и касается стороны 
в точке 
равны соответсвенно 
и 
, угол 
равен 
, высота трапеции меньше 
. Чему равна длина боковой стороны 
?
К чему дано условие в задаче, что высота трапеции меньше 2sqrt(2)/9? Может предполагалось какое-либо иное решение данной задачи?