Расстояние между скрещивающимися прямыми-2. Задание С2

В этой статье мы  разберем решение такой задачи: В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми  и

Рассмотрим чертеж задачи:

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно, для начала, через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой. В нашем случае для этого прийдется  сделать дополнительное построение:

Мы получили призму, в основании которой  лежит ромб со стороной, равной 1 и углом 60°.

Теперь в плоскости грани  проведем прямую   параллельно прямой ,

и через эту прямую проведем плоскость , которая будет параллельна прямой :

Расстояние между прямыми  и равно расстоянию от любой точки прямой  до плоскости .

Будем искать расстояние от точки С  до плоскости . Для этого проведем плоскость , перпендикулярно плоскости  (, так как диагонали ромба перпендикулярны, , так как призма правильная):

- линия пересечения плоскости  и плоскости .

Рассмотрим треугольник . Нам нужно найти расстояние от точки С до прямой , то есть высоту треугольника, проведенную из вершины С:

(из треугольника ),  (из треугольника ),  (из треугольника ):

Дальше поступим так:

1. Найдем cos C по теореме косинусов.

2. Найдем sin C через основное тригонометрическое тождество.

3. Найдем площадь треугольника  по формуле .

4. Из площади выразим высоту, опущенную на основание  - это и есть искомое расстояние.

1.

2. 

3.  

4. 

Ответ: 

Замечание: призму можно было достроить "вверх". Попробуйте это решение самостоятельно.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.