Репетитор по математике

Рассмотрим треугольники   и :

AI - биссектриса треугольника ABL. По свойству биссектрисы треугольника . Пусть AL=x, тогда  AB=40x.

CI - биссектриса треугольника LBC. По свойству биссектрисы треугольника . Пусть LC=y, тогда  CB=40y.

P=AB+CB+AC=40x+x+y+40y=41(x+y)

Заметим, что AC=x+y=12.

Следовательно, P=41(x+y)=

Ответ: 492

Найдем отношение BP:PC. Проведем прямую BD параллельно AC. Точка D - точка пересечения прямой BD и прямой, проходящей через точки  A  и P. Рассмотрим треугольники   AKM  и BKD:

Эти треугольники подобны по двум углам.

Запишем отношения сходственных сторон: .

Пусть AM=x, тогда BD=4x.

Теперь рассмотрим  треугольники  BPD и APC:

Они подобны по двум углам.

AM=MC=x - так как  BM - медиана.

Вернемся к исходному чертежу.

Пусть.

AM=MC, следовательно,

BK:KM=4:1, следовательно , и

.

Так как , , следовательно 

Тогда

Ответ: 12/7

Из прямоугольного треугольника - по условию.

Пусть По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, .

. ,  тогда .

Треугольник подобен по двум углам, поэтому сходственные элементы пропорциональны.

Запишем отношения сходственных элементов.

Отсюда

Ответ: 10.

Так как  - биссектриса, по свойству биссектрисы

Из треугольника

Итак мы имеем:

Пусть 

, так как

Ответ: .

Заметим, что сумма углов при основании  равна , поэтому логично достроить трапецию до прямоугольного треугольника. Построим чертеж с учетом этого факта:

Найдем длину отрезка .

Треугольники и подобны по двум углам. Поэтому

, отсюда , тогда .

Проведем радиусы к точке ,  к точке касания с прямой ( по теореме о радиусе, проведенном в точку касания). И опустим перпендикуляр из точки  на :

- прямоугольник.

По теореме о касательной и хорде  .

Рассмотрим прямоугольный треугольник :

Запишем теорему Пифагора для треугольника :

Отсюда

Ответ: 10

Рассмотрим треугольник :

Так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис,  и - биссектрисы смежных углов, угол между которыми равен . Следовательно,  треугольник - прямоугольный.

- высота, проведенная из вершины прямого угла. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, .

Аналогично получим и .

Из прямоугольного треугольника , следовательно, . Тогда .

Аналогично получим .

То есть треугольник  - равносторонний.

По теореме синусов

Ответ: 10.

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, пересекаются под углом . Следовательно, треугольник - прямоугольный.

Продолжим биссектрисы и до пересечения с основаниями параллелограмма. Получим прямоугольные треугольники и , которые равны треугольнику  по стороне и углу.

Следовательно высоты треугольников  и , проведенные из вершины прямого угла равны высоте треугольника , проведенной из вершины прямого угла, то есть равны 4. Следовательно, высота   параллелограмма, проведенная к стороне равна 8.

Отсюда

Ответ: 56.

Сделаем дополнительное построение: на прямой отложим отрезок и рассмотрим треугольник :

и - по построению. Следовательно, четырехугольник - параллелограмм, и отсюда

Докажем, что площадь треугольника равна площади исходной трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть  

Отсюда . Следовательно,  сторона треугольника равна 5 и треугольник  - прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно,

Ответ: 6

Замечание:

Если бы треугольник  не оказался бы прямоугольным, то его площадь можно было бы найти по формуле Герона: , где - длины сторон треугольника, - полупериметр.

Если середина  стороны  выпуклого четырехугольника  равноудалена от всех его вершин, следовательно, точка  является центром окружности, описанной около четырехугольника . Более того,  - ее диаметр. Построим соответствующий чертеж:

По свойству углов вписанного четырехугольника

(так как треугольник - равнобедренный)

Тогда 

 (так как треугольник - равнобедренный), следовательно, треугольник - равносторонний,

Ответ: 8

Рассмотрим прямоугольный треугольник . - биссектриса, следовательно, по свойству биссектрисы,

Пусть ,  тогда по теореме Пифагора .

По теореме синусов

Ответ: 10

Треугольник  подобен треугольнику по двум углам, следовательно,

По теореме Фалеса 

Пусть

Так как отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, 

Введем обозначения:

Выразим площадь каждого треугольника через .

Рассмотрим треугольник .

Так как , . Следовательно,

Рассмотрим треугольник  :

Так как , , следовательно, , соответственно, 

Аналогично получим, что  и .

Тогда

Отсюда

Ответ:

2 способ.

Рассмотрим треугольники и . Высоты этих треугольников равны, и , следовательно, . Пусть

По условию  от­но­ше­ние диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равно 2, . 

Пусть , тогда . (1)

Точка  - точка пересечения диагоналей параллелограмма. Из соображений симметрии диагонали ромба пересекаются в этой же точке. То есть отрезок - половина диагонали ромба. Вспомним, что диагонали ромба являются биссектрисами углов. Этот факт нам понадобится в дальнейшем.

Рассмотрим треугольник .

Так как стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма, четырехугольник - параллелограмм. ; - биссектриса углов  и .

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Так как - биссектриса треугольника , .

Из подобия треугольников и следует, что , отсюда . (Отрезок - 2 части, тогда отрезок - 3 части.) Тогда из соотношения (1) выразим сторону ромба:

Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны и синуса угла между сторонами, то есть

Ответ:

Заметим, что сумма углов при основании трапеции равна . Потому логично достроить трапецию до прямоугольного треугольника. Учтем этот факт при построении чертежа:

Докажем, что точки и лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольники и . Они подобны по двум углам (так как ) следовательно, их сходственные элементы пропорциональны и углы между сходственными элементами равны. Угол - общий, - медиана треугольника ,  - медиана треугольника , , следовательно, точки  и  лежат на одной прямой.

Рассмотрим случай, когда

Пусть . Так как - средняя линия трапеции, которая равна полусумме оснований, ,  . (1)

В прямоугольном треугольнике длина медианы равна половине длины гипотенузы, поэтому из прямоугольного треугольника   получим . Из прямоугольного треугольника  : .

Так как , получим второе уравнение:

С учетом уравнения (1) получили систему:

Отсюда .

Легко проверить, что в случае, когда , система не имеет решений.

Ответ: 1; 21.

Рассмотрим треугольники и .

Эти треугольники подобны по двум углам:

- как вертикальные,

- как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Запишем отношения сходственных сторон:

То есть 

Введем соотвествующие обозначения и рассмотрим треугольник :

Треугольник  вписан в окружность, поэтому радиус окружности мы можем найти по формуле:

(1)

Найдем все составляющие этой формулы:

,

По теореме косинусов из треугольника :

(4)

Подставим эти выражения в формулу (1):

Ответ:

2 способ.

Мы нашли  (4)

По теореме синусов из треугольника   найдем. Получим: .

.

Отсюда

Окружность, описанная около треугольника - это та же окружность, которая описана около заданного четырехугольника. По следствию из теоремы синусов для треугольника запишем: , где - радиус, который мы ищем.

, отсюда

Ответ:

Пусть  

По теореме об угле между хордой и касательной, :

Треугольник   подобен треугольнику по двум углам. Запишем отношения сходственных сторон:

Отсюда

По теореме о касательной и хорде

Отсюда

Ответ: 10.

Опустим из точки перпендикуляр на  и рассмотрим треугольники  и :

По теореме Пифагора:

Следовательно, по трем сторонам, отсюда , и  - по теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника. Следовательно, исходный параллелограмм является прямоугольником.

Уточним чертеж и рассмотрим прямоугольный треугольник :

Опустим из точки   перепендикуляр на :

, следовательно, четырехугольник - квадрат, и . Пусть   как отрезки касательных, проведенных из одной точки.

Запишем теорему Пифагора для треугольника :

- как отрезки касательных, проведенных из одной точки.

Тогда

Ответ: 672

Точка - середина , проведем через точку  среднюю линию .

-   как накрест лежащие.

-  так как - биссектриса угла

Следовательно, и треугольник - равнобедренный. Отсюда  

То есть средняя линия трапеции равна 5.

Запишем выражение для средней линии: .

, .

Теперь нам нужно найти высоту трапеции.

Опустим перпендикуляры   и на основание . Пусть . . Тогда :

Из прямоугольных треугольников и выразим высоту :

Решим уравнение относительно :

Отсюда , следовательно, трапеция прямоугольная: и

Ответ: 40.

Решение.

По условию - медиана, следовательно, .

В треугольнике биссектриса перпендикулярна основанию, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, этот треугольник является равнобедренным:

.

То есть . Пусть длина этих отрезков равна .

По свойству биссектрисы

Пусть , тогда :

Воспользуемся формулами для нахождения длины биссектрисы и медианы.

Медиана:

Биссектриса:

Получили систему уравнений:

Сложим уравнения, получим

Отсюда  

Тогда

Отсюда .

Ответ:

Пусть . Рассмотрим прямоугольный треугольник (вписанный угол  опирается на диаметр, следовательно, ).

- высота. Она равна среднему пропорциональному проекций катетов на гипотенузу: , или

Отсюда (1) 

Рассмотрим прямоугольные треугольники и :

Они подобны по двум углам.

Запишем отношения сходственных сторон:

Отсюда (из равенства (1))

Тогда

Ответ: 6,4

По теореме о касательной и секущей ,

Рассмотрим треугольник :

Найдем длину стороны по теореме косинусов:

Отсюда , то есть треугольник  - равнобедренный, и

Уточним наш чертеж и рассмотрим треугольник :

Треугольник равнобедренный, так как .

Радиус перпендикулярен по свойству касательной, следовательно

Пусть - высота и медиана треугольника .

Ответ: 8