Репетитор по математике

Преобразуем по формуле :

Так как , перепишем уравнение в виде:

Введем замену:

Получим уравнение относительно :

Перейдем к равносильной системе:

Решим первое уравнение системы:

Мы получили уравнение четвертой степени. Чтобы уменьшить коэффициенты, введем еще одну замену: .

Получим уравнение относительно :

Чтобы решить это уравнение, представим левую часть в виде произведение двух квадратных трехчленов с помощью метода неопределенных коэффициентов. (Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.)

Пусть выполняется равенство:

Здесь -целые числа.

Перемножим две скобки справа и приведем подобные члены. Получим:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях  и получим систему уравнений:

, отсюда или 

Отсюда

Рассмотрим два случая:

Тогда система примет вид:

Разложим число 12 на множители всеми возможными способами.

Без ограничения общности можем считать, что .

Пусть - подставим в систему, и убедимся, что она не имеет решений.

Аналогично система не имеет решений, если , .

2.

Тогда система примет вид:

Пусть - подставим в систему, и убедимся, что она не имеет решений.

Пусть .

Тогда  и наше разложение имеет вид:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим корни уравнения :

, .

Отсюда , .

Выберем корни, удовлетворяющие условиям:

, то есть  .

Из положительных корней этому условию удовлетворяет только .

Вернемся к исходной переменной:

Ответ: 

Выделим под каждым корнем полный квадрат:

Так как функция - нечетная, вынесем "-" за знак функции:

Перепишем в виде:

(1)

Заметим, что в правой и левой частях равенства стоят очень похожие выражения. Рассмотрим функцию

Тогда уравнение (1) можно переписать в виде:

(2)

Исследуем функцию на монотонность.

Найдем производную:

Выражение при любом значении .

Легко проверить, что выражение также больше нуля при любом значении .

Следовательно, и функция  возрастает при любом значении .

Если функция монотонна, то разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, и если значения функции равны, то равны соответствующие значения аргумента.

То есть из равенства (2) следует:

.

Отсюда

.

Ответ: .

Приравняем левую часть неравенства к нулю. В точках, в которых левая часть неравенства равна нулю, она может менять знак.

Разложим левую часть неравенства на множители.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

Сгруппируем:

;

;

Отсюда

(1)

или

(2)

Решим уравнение (1):

;

;

.

Решим уравнение (2):

;

Это уравнение вида , решается с помощью введения вспомогательного угла:

,

или

,

.

Итак, мы получили три серии решений:

;  

Нанесем их на тригонометрический круг:

поскольку среди этих точек нет корней четной кратности, и ни одна из точек не лежит на пересечении с тригонометрической окружностью, в этих точках левая часть неравенства  меняет знак.

Методом пробной точки определим знаки левой части неравенства на каждом промежутке.

Выясним знак выражения   в точке : , следовательно на промежутке, содержащем точку 0 оно положительно, и  на остальных промежутках имеет такие знаки:

Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство . Выделим их:

Теперь наша задача правильно записать выделенные промежутки, упорядочить значения указанных точек. Движение  по тригонометрическому кругу в положительном направлении - это движение против часовой стрелки, и значение каждой следующей точки должно соответствовать значению предыдущей. Если считать, что мы начали двигаться из точки , то следующая за ней точка должна иметь значение :

Теперь мы можем записать ответ:

, .

Приведем правую и левую части уравнения к  общему знаменателю:

Воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

Перенесем все влево:

Вынесем за скобку и преобразуем знаменатели дробей по формуле синуса двойного угла:

(1)

Мы получили распадающееся уравнение.

Найдем ОДЗ:

, отсюда

, отсюда

Приравняем к нулю каждый множитель в левой части уравнения (1):

, отсюда

Разделим обе части уравнения на 2 и приведем левую часть к общему знаменателю:

По формуле преобразования суммы синусов в произведение разложим на множители числитель дроби:

Приравняем числитель к нулю, получим

, отсюда

, отсюда

Сведем все полученные решения в систему:

где

Теперь перед нами стоит задача записать ответ максимально компактно.

Объединим первую и третью серии решений.

 - в числителе стоит произведение числа и четного числа;

- в числителе стоит произведение числа и нечетного числа.

Объединив эти серии решений, мы получим .

 Наша система приобрела более компактный вид:

Учтем ОДЗ:

1) ,

,

Следовательно, для серии , - целое число, не  кратное числу 4.

,

Следовательно, для серии ,   - целое число, не кратное числу 3.  

2)

;

,  отсюда .

;

,  отсюда .

Ответ: