Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
28 Мар 2012
13 Задание (2022) (C2)

Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14

В этой статье я расскажу, как находить угол между прямой и плоскостью c помощью  методом координат.

Для этого нам, как обычно, понадобятся  некоторые теоретические сведения.

1. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0

2. Важно! В этом уравнении плоскости  коэффициенты a;b;c - координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

vec{n}(a;b;c )

 

3. Косинус угла между векторами vec{a}(x_1;y_1;z_1) и vec{b}(x_2;y_2;z_2) вычисляется по формуле:

cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }

4. Любой ненулевой вектор vec{m}(a_1;b_1;c _1), лежащий на прямой l, или параллельный прямой l, называется направляющим вектором прямой.

5. Синус угла  betaмежду прямой l и плоскостью alpha равен косинусу угла gamma между нормалью (vec{n}) к плоскости и направляющим вектором прямой (vec{m}), поскольку  {beta}+{gamma}=90^{circ}

sin{beta}=cos{gamma}

То есть синус угла beta между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты vec{m}(a_1;b_1;c _1) и плоскостью, заданной уравнением ax+by+cz+d=0 вычисляется по формуле:

sin{beta}=cos{gamma}=delim{|}{{{a_1}{a}+{b_1}{b}+{c_1}{c}}/{sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}{sqrt{{a}^2+{b}^2+{c}^2}} }}{|}

Решим задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

 

Введем систему координат:

Начало координат поместим в точку В, поэтому все координаты этой точки равны нулю.

Запишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости 

B(0;0;0)

C(0;1;0) (все ребра пирамиды равны 1)

Чтобы найти координаты точки S сначала найдем координаты ее проекции на плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ:

S({1/2};{1/2};{sqrt{2}}/2)

Так как плоскость SBC проходит через начало координат, d=0,

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b=0} {{1/2}a+{1/2}b+{sqrt{2}/2}c=0} {x-8y+9z=0}}}{ }

Отсюда b=0, {1/2}a=-{sqrt{2}/2}c.

Уравнение плоскости имеет вид:

-{sqrt{2}}c x+cz=0. Разделим обе части равенства на с, получим:

-{sqrt{2}} x+z=0.

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

vec{n}({-sqrt{2}};0;1 )

Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.

D(1;1;0)

B(0;0;0), vec{BD}(1;1;0)

sin{beta}=delim{|}{{-{sqrt{2}}*{1}}/{sqrt{{(-{sqrt{2})}^2+1}sqrt{1+1}} }{|}=1/{sqrt{3}}={sqrt{3}}/3

Ответ: {sqrt{3}}/3

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14
| Отзывов (52) | Метки:

Отзывов (52)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Галина
    в 16:17

    И все таки никак не выходит составить уравнение плоскости проходящей через начало координат напримерв(0,0,0) а1 (1,0,1)д1 (1,1,1)
    Ответить
    • Инна
      в 17:20

      Если плоскость проходит через начало координат, d=0. Может так получиться, что количество неизвестных в системе будет больше, чем количество уравнений. В этом случае нужно два неизвестных выразить через третье, например, а и b через с, а потом разделить на с. В вашем случае получается b=0, а=-с. Получается уравнение -сх+0у+сz=0. Делим на с , получаем -х+0у+ z=0. Координаты вектора нормали (-1;0;1)
      Ответить
  2. Галина Катаева
    в 16:18

    Подробнее можно уравнение плоскости проходящей через начало координат
    Ответить
  3. Анна
    в 17:49

    А можно эту же задачу решать не через координаты, а через единичные векторы i,j,k, направленные вдоль осей Ox, oy, oz?
    Ответить
    • Инна
      в 17:52

      Это те же координаты
      Ответить
      • Анна
        в 17:59

        Тогда как это оформить? Как начать?
        Ответить
  4. Сергей
    в 05:20

    Урок неплох, но я, простите, глазом зацепился за одну не совсем правильную формулировку:
    «найдем длины проекций точки S на оси координат»
    проекцией точки хоть на плоскость, хоть на ось координат является точка. А точка не может иметь длинны.
    Ответить
    • Инна
      в 17:28

      Cпасибо
      Ответить
  5. Ксения
    в 21:54

    Инна Владимировна, простите, кажется, у вас опечатка в последней формуле с синусом — я вместо нее подставила формулу из теории в начале статьи и все получилось) или я что-то неправильно поняла?
    Ответить
    • Ксения
      в 21:55

      ой, извините, знак интеграла неправильно поняла) все сходится
      Ответить
  6. Сергей
    в 10:04

    Инна, можете в трёх словах объяснить когда мы должны использовать синус,а когда косинус? я не могу разобраться
    Ответить
    • Инна
      в 10:10

      Мы можем найти косинус угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали. Но нам нужен не этот угол, а угол между направляющим вектором прямой и направляющим вектором проекции этой прямой. Синус угла между направляющим вектором прямой и направляющим вектором проекции этой прямой равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали.
      Ответить
  7. Таня
    в 12:53

    Скажите, пожалуйста, почему в первой системе уравнений b =0?
    Ответить
    • Инна
      в 18:16

      Мы координаты точки С подставили в уравнение плоскости.
      Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *