15 Задание (2022) (C4) – Репетитор по математике

Главная » СТАТЬИ » 15 Задание (2022) (C4)

Рубрика: 15 Задание (2022) (C4)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2016-12-22

22 Дек 2016

15 Задание (2022) (C4)ПЛАНИМЕТРИЯ

Задача по планиметрии. Задание 16 из т/р А. Ларина №176

Решим задачу по планиметрии из тренировочной работы № 176 А. Ларина.

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , касается основания $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Вторая окружность касается основания $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и продолжений боковых сторон.

А) Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

Б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , а $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Инна | Отзывов (2)

2016-07-20

20 Июл 2016

15 Задание (2022) (C4)МГУ, ДВИПЛАНИМЕТРИЯ

Задача по планиметрии. ДВИ МГУ, 2016 год.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Хорда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Прямая $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ пересекает внешнюю окружность в точках $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Найдите площадь четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если известно, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , а радиусы окружностей относятся как $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Инна | Один отзыв

2016-06-09

09 Июн 2016

15 Задание (2022) (C4)Диагностические работыПЛАНИМЕТРИЯ

ЕГЭ по математике от 6 июня 2016. Задание 16

Задание 16. В трапеции $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ боковая сторона $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярна основаниям. Из точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ на сторону $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ опустили препендикуляр $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . На стороне $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ отмечена точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ так, что прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельны.

б) Найдите отношение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

а) Достроим трапецию до прямоугольного треугольника:

Докажем, что треугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ подобен треугольнику $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - общий угол этих треугольников. В подобных треугольниках против сходственных сторон лежат равные углы. Если мы докажем, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , то тем самым мы докажем подобие треугольников $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ по двум сторонам и углу между ними, и равенство углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Рассмотрим треугольники $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - это прямоугольные треугольники с общим углом $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Следовательно, они подобны по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . И пусть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

Помним, что нам надо доказать равенство $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

В прямоугольном треугольнике $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ отрезок $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - высота. По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Мы доказали равенство $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, треугольники $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ подобны и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Следовательно, прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельны.

2 способ доказательства п. а).

Рассмотрим четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и около четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ можно описать окружность:

По свойству вписанных углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Аналогично можно описать окружность около четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . По свойству вписанных углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, по свойству накрест лежащих углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , то есть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда следует, что прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельны.

б) Найдем отношение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Так как треугольники $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ подобны, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

По условию угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Следовательно, треугольники $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - равнобедренные, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Ответ: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов (3)

2016-06-02

02 Июн 2016

15 Задание (2022) (C4)ПЛАНИМЕТРИЯ

Задание 16 из т/р А. Ларина №159

Задание 16. Точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середина отрезка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . На отрезках $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , как на диаметрах, построены две окружности. Хорда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ одной из них касается другой окружности в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

б) Найдите площадь треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если известно, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов (2)

2016-05-16

16 Май 2016

15 Задание (2022) (C4)Диагностические работы

Задание 16 из Досрочного ЕГЭ по математике 28.03.2016

Точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - центр окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - центр вписанной в него окружности, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - точка пересечения высот. Известно, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежит на окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

б) Найдите угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Решение.

показать

Пусть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . По условию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как треугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - равнобедренный, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

117

Так как $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - центральный, а угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ вписанный, по свойству вписанного угла получим равенство:

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

а) Точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежит на окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . (Так как геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом есть дуга окружности, концами которой являются конца отрезка).

Докажем, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Продолжим высоту $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до пересечения с окружностью, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Обозначим эту точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

117

По свойству ортоцентра треугольника, точка симметрична точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ относительно стороны $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , поэтому $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ вписан в окружность, сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , поэтому $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Первое утверждение доказано.

б) Докажем, что точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , центр вписанной окружности треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ также лежит на окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Докажем, что угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ также равен $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

118

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, поэтому $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Итак, мы выяснили, что точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежат на окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Найдем угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , при условии, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Выясним, в каком порядке расположены на окружности точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Для этого найдем величины углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - чем больше угол, тем длиннее соответствующая хорда и дальше расположена соответствующая точка от вершины $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Следовательно, точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ расположены именно так, как указано на рисунке.

Вписанный угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и вписанный угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ опираются на одну хорду $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, они равны.

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Ответ: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов нет

2016-05-02

02 Май 2016

15 Задание (2022) (C4)ПЛАНИМЕТРИЯ

Задание 16 из Тренировочной работы МИОО 27.04.2016 (вар. 510)

Задание 16. В треугольнике $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ проведены две высоты $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , причем $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ тупой.

б) Найдите отношение площадей треугольников $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов (2)

2016-04-28

28 Апр 2016

15 Задание (2022) (C4)ПЛАНИМЕТРИЯ

Задание 16 из Тренировочной работы МИОО 27.04.2016 (вар. 509)

Задание 16. Окружность, проходящая через вершины $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямоугольной трапеции $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ с основаниями $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , пересекает меньшую боковую сторону $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и касается прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Известно, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - биссектриса угла $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

б) В каком отношении прямая $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ делит площадь трапеции?

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов (3)

2016-04-25

25 Апр 2016

15 Задание (2022) (C4)Диагностические работы

Задание 16 из Досрочного экзамена, резерв. 16.04.2016

Задание 16. Прямая, проходящая через вершину $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямоугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , перпендикулярна диагонали $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и пересекает сторону $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , равноудаленной от вершин $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ делят угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов (5)

2016-03-05

05 Мар 2016

14 Задание (2022) (C3)15 Задание (2022) (C4)Диагностические работы

Тренировочная работа МИОО 3 марта 2016 года. Задания 15 и 16.

Задание 15.

Решите неравенство:

Решение.

показать

Задание 16.

Диагональ $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ с параллельными основаниями $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ разбивает его на два равнобедренных треугольника с основаниями $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что луч $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - биссектриса угла $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

б) Найдите $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если известны диагонали четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Инна | Отзывов (8)

2016-01-15

15 Янв 2016

15 Задание (2022) (C4)ОГЭ (ГИА) Задание 25ПЛАНИМЕТРИЯ

Прототипы задания 26 (ОГЭ) (№ 324599 — № 324602)

В этой статье вы найдете пошаговые решения прототипов задач из Задания 26 ОГЭ по математике (№ 324599 - № 324602)

No 324599

В выпуклом четырёхугольнике $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ диагональ $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ является биссектрисой угла $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и пересекается с диагональю $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Найдите $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если известно, что около четырёхугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ можно описать окружность, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

№ 324600

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение.

показать

№ 324601

В трапеции $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ боковая сторона $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярна основанию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Окружность проходит через точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и касается прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Найдите расстояние от точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

№ 324602

Биссектриса $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ делит сторону $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ на отрезки, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Касательная к описанной окружности треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , проходящая через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , пересекает прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Найдите $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .