Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.
Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:
В этом равенстве - функция, от которой мы берем производную,
- функция, которая получается в результате этой операции.
Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций:
1. Производная константы равна нулю:
2. Производная степенной функции:
Заметим, что может принимать любые действительные значения.
Примеры.
1.
2.
3.
3. Производная показательной функции:
Пример.
Частный случай этой формулы:
4. Производная логарифма:
Частный случай этой формулы:
5. Производные тригонометрических функций:
6. Производные обратных тригонометрических функций:
Правила дифференцирования:
1. Производная суммы двух функций:
2. Производная произведения двух функций:
3. Производная дроби:
4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):
Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма:
1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.
2. Отделите в явном виде коэффициенты.
3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции
4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.
5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.
Пример 1. Найти производную функции:
Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:
Так как по условию , следовательно,
Таким образом:
Пример 2. Найти производную функции:
1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :
Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.
Следовательно:
Пример 3. Найти производную функции
Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:
Теперь легко найти производную:
Пример 4. Найти производную функции:
Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.
Найдем производную функции по формуле производной дроби:
В нашем случае:
Отсюда:
КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь
Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.
как решить?:
(tg(x в кубе))’
Это производная сложной функции.
Подробно см. здесь: //ege-ok.ru/2012/02/01/slozhnaya-funktsiya-proizvodnaya-slozhnoy-funktsii
и здесь: //ege-ok.ru/2012/02/01/slozhnaya-funktsiya-proizvodnaya-slozhnoy-funktsii
как решить?:
x нулевое=0,y=4x в кубе+2x-3
Сначала найти производную, а потом в уравнение производной вместо х подставить 0.
(4x^3+2x-3)’=12x^2+2
f(0)=12*0^2+2=2
y=sin(x)
Помогите !
Посмотрите таблицу производных.
Все же просто. Смотрите производные элементарных функций.
По формуле: (sinx)’=cosx
найти производную функций а) y=5x^-2.5 б)у=Ln(3x) в)y=e^cos x
a)
б)
в)
разложить ряд Маклорена и найти интервалы сходимости функции y=³√27+x
y=(x^2-1)*(x^2-4)*(x^2+9)
Нужно перемножить все скобки, а потом взять производную.
помогите решить У=cos^(2)(4t^(4)-7)