Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2013-06-05

Главная » СТАТЬИ » 14 Задание (2022) (C3) » Задание С3 ЕГЭ 2013

05 Июн 2013

14 Задание (2022) (C3)ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ

Задание С3 ЕГЭ 2013

Решим Задание С3 из реального ЕГЭ по математике 3 июня 2013 года.

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_{3-x}{{x+4}/{(x-3)^2}}>=-2} {x^3+6x^2+{21x^2+3x-12}/{x-4}<=3} }}{ }$

Решим каждое неравенство системы по отдельности. Начнем с первого неравенства.

$log_{3-x}{{x+4}/{(x-3)^2}}>=-2$

Перед нами логарифмическое неравенство с переменным основанием. Можно было бы сразу записать систему, эквивалентную нашему неравенству, но здесь имеет смысл сначала его преобразовать. И поэтому, до всех преобразований, найдем ОДЗ неравенства.

ОДЗ:

$delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{3-x>0} {{{x+4}/{(x-3)^2}}>0} {3-x<>1}}}{ }$

Отсюда:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{ x<3} {x>-4} {x<>3}{x<>2}}}{ }

Изобразим ОДЗ первого неравенства на координатной прямой:

Теперь воспользуемся свойствами логарифмов и упростим левую часть неравенства:

Внимание! Чтобы не произошло сужение ОДЗ, мы логарифм произведения двух выражений представляем в виде суммы логарифмов следующим образом:

$log_{a}{(f(x)*g(x))}=log_{a}{delim{|}{f(x)}{|}}+log_{a}{delim{|}{g(x)}{|}}$

$log_{3-x}{delim{|}{x+4}{|}}-log_{3-x}{delim{|}{(x-3)^2}{|}}>=-2$

Замечу, что во втором логарифме модуль было ставить не обязательно, поскольку квадрат любого выражения величина неотрицательная.

Но при вынесении квадрата за знак логарифма ставить знак модуля ОБЯЗАТЕЛЬНО!

$log_{3-x}{delim{|}{x+4}{|}}-2log_{3-x}{delim{|}{x-3}{|}}>=-2$

Раскроем модули.

Согласно ОДЗ:

x>-4 , следовательно, x+4>0 и delim{|}{x+4}{|}=x+4

x<3 , следовательно, x-3<0 и delim{|}{x-3}{|}=3-x

Получим: $log_{3-x}{(x+4)}-2log_{3-x}{(3-x)}>=-2$

$log_{3-x}{(x+4)}-2>=-2$

$log_{3-x}{(x+4)}>=0$

Итак, мы получили классическое логарифмическое неравенство с переменным основанием:

$log_{3-x}{(x+4)}>=log_{3-x}{1}$

Так как ОДЗ мы уже нашли, перейдем к неравенству:

(3-x-1)(x+4-1)>=0

(2-x)(x+3)>=0 :Учтем ОДЗ:Итак, решение первого неравенства: [-3;2)

Решим второе неравенство:

$x^3+6x^2+{21x^2+3x-12}/{x-4}<=3$

Сначала перенесем число 3 влево и вычтем его из дроби:

$x^3+6x^2+{21x^2+3x-12-3x+12}/{x-4}<=0$

$x^3+6x^2+{21x^2}/{x-4}<=0$

Вынесем за скобку x^2 :

${x^2}(x+6+{21}/{x-4})<=0$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

${x^2}({x^2-4x+6x-24+21}/{x-4})<=0$

${x^2}({x^2+2x-3}/{x-4})<=0$

${(x^2)}{(x-1)(x+3)}/{x-4}<=0$

Решим неравенство с помощью метода интервалов. Нанесем корни на ось и расставим знаки (помним, что корень - корень четной кратности, в этой точке смены знака не происходит):

Итак, решение второго неравенства системы: (-;-3]{0}[1;4)

Совместим решения первого и второго неравенств на одной координатной прямой:

Не забываем записать в ответ точки {0} и {-3}:

Ответ: [1;2) union {-3} union {0}.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (32)

Отзывов (32)

Следующие комментарии →

Lobster Mary

2013-06-12 в 18:32

Почему, в самом начале, когда определяется ОДЗ…..то
в дроби:
X+4/(X-3)^2 больше 0

Почему х ПЛЮС 4 в числителе??
В условии же было х МИНУС 4

Это опечатка?

Ответить
- Инна
  
  2013-06-12 в 18:55
  
  Опечатка, в условии х+4
  
  Ответить
  - Lobster Mary
    
    2013-06-12 в 19:01
    
    Спасибо)
    а почему из 3-х≠1 получается что х≠3 и х≠2
    
    если мы перенесем х в правую часть а 1 в левую, получится, что х≠только 2м, откуда 3?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-06-13 в 07:17
      
      х≠3 получается из второго неравенства
      
      Ответить
Анастасия

2013-06-14 в 13:03

Ограничение ОДЗ х<3 — а в ответе захватывается промежуток до 4. Плюс ведь ограничение 1го неравенства [-3;2) — то значит в ответ идет лишь промежуток [1; 2), 0, -3 — или я чего-то не поняла?

Ответить
- Инна
  
  2013-06-14 в 18:20
  
  Да, конечно, опечатка — на рисунке видно.
  
  Ответить
Анастасия

2013-06-19 в 09:45

Пожалуйста, подскажите, что делать с этим неравенством, с чего хотя бы начать — никак не могу разобраться, кучу вариантов перепробовала:
x+17 + (144x-436)/(x^2-10x+21) < 1/(x-3)

Ответить
- Инна
  
  2013-06-19 в 11:09
  
  Перенеси 1/(x-3) влево, разложи знаменатель дроби (144x-436)/(x^2-10x+21) на множители, вычти из дроби (144x-436)/(x^2-10x+21) дробь 1/(x-3), а затем методом интервалов
  
  Ответить
  - Анастасия
    
    2013-06-19 в 11:29
    
    Пфф…я супер-невнимательная курица. Спасибо Вам большое.
    
    Ответить
Дмитрий

2013-06-20 в 11:09

Здравствуйте, Инна Владимировна. Не могли бы Вы помочь с решением данного уравнения с параметром?

|sin^2 x+2cos x+a| = sin^2 x+cos x-a
Найти все знач-я а, при кототорых данное уравнение имеет ровно один корень на промежутке (П/2; П]

Пожалуйста, помогите с решением!

Ответить
- Инна
  
  2013-06-20 в 18:07
  
  Дмитрий, отправила решение на почту
  
  Ответить
  - Дмитрий
    
    2013-06-21 в 09:04
    
    Большое Вам спасибо!
    
    Ответить
jack london

2013-07-09 в 07:33

Инна, что-то случилось с вашим сайтом. Формулы перестали нормально отображаться 🙁

Ответить
- Инна
  
  2013-07-09 в 09:31
  
  Да, я заметила. С ним вообще пследнее время странные вещи происходят. Буду решать теперь эту проблему.
  
  Ответить
Юрий

2013-09-10 в 12:08

Опечатки в двух случаях:
1. судя по решению, в первом неравенстве исходной системы и в нем же, первый раз переписанном, в правой части должно стоять -2 (минус 2);
2.далее в нем же, два раза преобразованном, основание меняется на противоположное, после чего благополучно возвращается к исходному.

Ответить
- Инна
  
  2013-09-10 в 13:58
  
  Спасибо)
  
  Ответить
Юрий

2013-09-10 в 15:18

Еще,т.к. не могу «пройти мимо»,прошу Вас по возможности ознакомить меня с Вашим решением уравнения с параметром, о котором Вас выше попросил Дмитрий.

Ответить