Комбинированное неравенство. Задание 15

Будем решать это неравенство с помощью обобщенного метода интервалов.

 

1. Воспользуемся формулой приведение к новому основанию и избавимся от логарифма с переменным основанием:

и запишем исходное неравенство в таком виде:

1. Найдем ОДЗ числителя и знаменателя.

Исходим из того, что подкоренное выражение больше нуля, выражение, стоящее под знаком логарифма больше нуля. (Мы не будем отдельно записывать, что знаменатель не равен нулю, так как учтем это при обозначении точек на координатной прямой: точки, обозначающие корни знаменателя всегда выколоты.)

Получим систему неравенств:

Так как , при любом значении  .

Отсюда получим систему:

Таким образом,

3. Найдем корни числителя:

- сразу заметим, что такой корень уже был, то есть - корень четной кратности, в этой точке смены знака не происходит.

Кроме того при любом допустимом значении ,  следовательно, этот множитель не влияет на знак неравенства.

4. Найдем корни знаменателя:

Сразу заметим, что, поскольку, следовательно, , отсюда  , следовательно, этот множитель не влияет на знак неравенства.

Итак, смена знака происходит только в корне знаменателя .

5. Наносим корни числителя и знаменателя на числовую ось. Корни знаменателя оставляем выколотыми, так как  знаменатель не равен нулю, корни числителя закрашиваем, так как исходное неравенство нестрогое. Одновременно обозначим ОДЗ.

Найдем корни уравнения , принадлежащие промежутку .

;

;

Так как , получим:

Отсюда

;

;

Этому двойному неравенству удовлетворяют

Следовательно, .

Исследуем знаки. Возьмем, например, и подставим в исходное неравенство:

Расставим знаки, учитывая, что смена знака происходит только при .

Нас интересуют промежутки, где выполняется условие . Не забываем включить в ответ число :

Ответ: {}