Репетитор по математике

Задание 14 из пробного варианта, С-Петербург

Построим сечение призмы  плоскостью .

1) Проведем отрезок  

2) Так как линии пересечения секущей плоскостью параллельных граней прямоугольного параллелепипеда параллельны, линия пересечения плоскостью  грани   параллельна :

Задание 14 из пробного варианта, С-Петербург

Опишем построение отрезка :

, следовательно, , (по построению), следовательно, .

- по построению, следовательно, (  по двум катетам), поэтому  , и отсюда .

Докажем, что четырехугольник - искомое сечение.  Отрезок   является стороной сечения, а его диагональ , следовательно, сечение проходит через точки  и и плоскость сечения параллельна   (Если прямая параллельна любой прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.)

Задание 14 из пробного варианта, С-Петербург

Так как , следовательно, .

Докажем, что четырехугольник  - ромб. Противоположные стороны четырехугольника параллельны, следовательно, это параллелограмм.

(по двум катетам), следовательно, , и четырехугольник  - ромб.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

- из прямоугольного треугольника  .

Диагональ найдем из прямоугольного треугольника :

Задание 14 из пробного варианта, С-Петербург

,

Ответ:

Заметим, что так как осевое сечение - равнобедренный треугольник, .

Построим сечение.

Проведем в плоскости осевого сечения отрезок . Затем проведем хорду .

Докажем, что треугольник   - искомое сечение.

по построению.

- по построению. По теореме о трех перпендикулярах  ( - наклонная, - проекция. Заметим, что по этой же теореме  ) Получили, что прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым  и  плоскости , и, следовательно, перпендикулярна плоскости.

Докажем, что угол 

Так как треугольник  - равнобедренный, высота  является биссектрисой. Докажем, что . Так как на промежутке косинус убывает, докажем, что .

Из прямоугольного треугольника находим катет

Из прямоугольного треугольника найдем , следовательно,  и .

По свойству острых углов прямоугольного треугольника   ,  следовательно углы при основании треугольника  равны .

Ответ: 

Решение этой задачи с помощью метода координат. Решение предоставлено Сергеем Симутиным:

Задание 14 от 27.04.2016 решение

Представим исходное уравнение в виде

Обозначим

Получим 

Построим в одной системе координат график функции и семейство прямых и найдем, при каком значении график функции и соответствующая прямая имеют одну общую точку.

Построим график функции .

Найдем точки пересечения с осью ОХ:

,

Найдем промежутки монотонности с помощью производной:

,

Найдем значения функции в точках -1,  2:

,  

Получим следующий график:

Уравнение функции  задает семейство прямых с переменным коэффициентом , с общей точкой (0,-4). Прямая  имеет с графиком функции  одну общую точку, если находится в зеленой или голубой области, или если касается графика:

Коэффициент наклона прямой, ограничивающей зеленую область находим из треугольника : .

Коэффициент наклона прямой, ограничивающей голубую область находим из треугольника : .

Найдем координаты точки касания.

Запишем уравнение касательной к точке , проходящей через точку

Уравнение касательной имеет вид:

В нашем случае:

Упростим, получим:

Так как сумма коэффициентов многочлена в левой части уравнения равно нулю, его корень .

Легко доказать, что других корней нет, например графическим способом:

Коэффициент наклона касательной равен

Итак, исходное уравнение имеет единственное решение, если

Вернемся к параметру :

Ответ: (];{};()

Будем решать неравенство методом интервалов.

Перенесем число 3 влево, приведем к общему знаменателю:

Найдем корни числителя. Разложим основания на простые множители.

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части на :

Введем замену:

Получим квадратное уравнение относительно :

Заметим, что  , Следовательно , .   -  посторонний корень.

Вернемся к исходной переменной:

Найдем корень знаменателя:

Нанесем корни на числовую ось.

Сравним и

Так как неравенство не строгое, корень числителя закрашиваем, корень знаменателя "выкалываем".

Выясним знак левой части неравенства в точке .

Расставим знаки и выделим нужные промежутки:

Ответ: (]

По условию , следовательно, и треугольник   - равнобедренный.

как  углы при основании равнобедренного треугольника.

как накрест лежащие: по условию

Следовательно,  и - биссектриса угла.

Пусть . Тогда  -как  углы при основании равнобедренного треугольника.

 как накрест лежащие.

Обозначим равные углы и рассмотрим треугольник . Проведем в нем высоту :

является высотой и медианой, следовательно . Из прямоугольного треугольника получим .

найдем из треугольника по теореме косинусов.

Или так. Проведем высоту в треугольнике :

Или так. Треугольник равен треугольнику по гипотенузе и острому углу, следовательно,

По теореме Пифагора , и 

Ответ: 6.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Получим систему:

первое уравнение:

:

Второе условие:

Заметим, что , поэтому :

Остался единственный корень:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку []:

Мы видим, что отрезку [] принадлежит корень :

Ответ: а) 

б) 

Построим сечение.

- Проведем прямую  №1 () параллельно .

Через точку проведем прямую №2 () параллельно  .

Через точку проведем прямую №3 () параллельно  .

Получили сечение - четырехугольник :

Данное сечение удовлетворяет всем условиям задачи:

1.   - по построению, следовательно   (по теореме о параллельности прямой и плоскости).
2.   - по построению, следовательно   (по теореме о параллельности прямой и плоскости).

Докажем, что четырехугольник  - прямоугольник.

,  так как - линия пересечения плоскости и плоскости , , следовательно линии пересечения плоскости сечения с плоскостями   и   (соответственно и ) параллельны.

, так как и параллельны . Следовательно, противоположные стороны четырехугольника  попарно параллельны и он является параллелограммом.

Докажем, что .  Проведем высоту пирамиды:

Вершина правильной пирамиды проецируется в точку , ортоцентр основания, то есть в точку пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника .

, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах . , , следовательно .

Найдем длины сторон прямоугольника .

(из подобия треугольников и )

;

(из подобия треугольников и )

;

Ответ: 4,5.