Диагностические работы – Репетитор по математике

Главная » СТАТЬИ » Диагностические работы

Рубрика: Диагностические работы

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2017-04-23

23 Апр 2017

14 Задание (2022) (C3)Диагностические работы

Задание 15 из Тренировочной работы 21.04.2017

Решите неравенство:

Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов (2)

2017-04-21

21 Апр 2017

15 Задание (2022) (C4)Диагностические работы

Задание 16 из Тренировочной работы по математике 21.04.2017

Прямая, проходящая через середину $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ гипотенузы $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямоугольного треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , перпендикулярна $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и пересекает катет $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . При этом $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

б) Пусть прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ пересекаются в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . а прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Найдите $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов нет

2017-03-29

29 Мар 2017

15 Задание (2022) (C4)Диагностические работы

Задание 16 из Тренировочной работы 6.03.2017

Задание 16 из Тренировочной работы 6.01.2017.

Окружность проходит через вершины $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и пересекает $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точках $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ подобен треугольнику $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

б) Вычислите длину стороны $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и радиус данной окружности, если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и площадь треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в пять раз меньше площади четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов нет

2017-02-01

01 Фев 2017

13 Задание (2022) (C2)Диагностические работыСТЕРЕОМЕТРИЯ

Тренировочная работа от 26.01. 2017. Задание 14

Задание 14. Точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середины ребер $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ куба $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и перпендикулярной прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если ребро куба равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

141

Докажем перпендикулярность прямых $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ с помощью метода координат. Введем систему координат и докажем перпендикулярность векторов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Вектора $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - направляющие вектора прямых $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Если направляющие вектора прямых перпендикулярны, то перпендикулярны и сами прямые.

121

Пусть сторона куба равна $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Запишем координаты точек:

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Теперь найдем координаты векторов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора вычитаем координаты начала):

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдем скалярное произведение векторов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Итак, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

б) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и перпендикулярной прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Прямая перпендикулярна плоскости, если он перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Проведем в грани $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , перпендикулярную $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Поскольку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (из доказанного) и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (по построению), $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярна плоскости, содержащей прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

122

Проведем эту плоскость:

123

Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения плоскостей параллельны. Так как основания куба параллельны, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Следовательно, точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середина ребра $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - параллелограмм.

Докажем, что четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - прямоугольник.

Ребро $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярно грани $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой грани, в частности, прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . То есть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Следовательно, сечение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - прямоугольник.

Найдем площадь сечения.

По условию, ребро куба равно 4.

Тогда по теореме Пифагора из треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Ответ: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов нет

2017-01-26

26 Янв 2017

17 Задание (2022) (C6)Диагностические работы

Тренировочная работа 26.01.2017. Задание 18

Задание 18. Найдите все значения параметра $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , при каждом из которых уравнение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ имеет ровно 3 решения.

Решение. показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Инна | Отзывов нет

2016-06-17

17 Июн 2016

13 Задание (2022) (C2)Диагностические работы

ЕГЭ по математике от 6 июня 2016. Задание 14

Задание 14. В правильное треугольной призме $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ сторона основания $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равна 6, а боковое ребро $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равно 3. На ребре $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ отмечена точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ так, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середины ребер $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ соответственно. Плоскость $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельна прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и содержит точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что прямая $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , а основание - сечение данной пирамиды плоскостью $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов нет

2016-06-11

11 Июн 2016

17 Задание (2022) (C6)Диагностические работыЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

ЕГЭ по математике от 6 июня 2016. Задание 18

Задание 18. Определите, при каких значениях параметра $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ уравнение

имеет ровно три различных решения.

Решение.

показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов нет

2016-06-09

09 Июн 2016

15 Задание (2022) (C4)Диагностические работыПЛАНИМЕТРИЯ

ЕГЭ по математике от 6 июня 2016. Задание 16

Задание 16. В трапеции $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ боковая сторона $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярна основаниям. Из точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ на сторону $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ опустили препендикуляр $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . На стороне $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ отмечена точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ так, что прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельны.

б) Найдите отношение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение.

показать

а) Достроим трапецию до прямоугольного треугольника:

Докажем, что треугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ подобен треугольнику $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - общий угол этих треугольников. В подобных треугольниках против сходственных сторон лежат равные углы. Если мы докажем, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , то тем самым мы докажем подобие треугольников $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ по двум сторонам и углу между ними, и равенство углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Рассмотрим треугольники $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - это прямоугольные треугольники с общим углом $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Следовательно, они подобны по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . И пусть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

Помним, что нам надо доказать равенство $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

В прямоугольном треугольнике $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ отрезок $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - высота. По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Мы доказали равенство $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, треугольники $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ подобны и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Следовательно, прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельны.

2 способ доказательства п. а).

Рассмотрим четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и около четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ можно описать окружность:

По свойству вписанных углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Аналогично можно описать окружность около четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . По свойству вписанных углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, по свойству накрест лежащих углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , то есть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда следует, что прямые $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельны.

б) Найдем отношение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Так как треугольники $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ подобны, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

По условию угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Следовательно, треугольники $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - равнобедренные, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Ответ: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов (3)

2016-06-05

05 Июн 2016

Диагностические работы

Реальный ОГЭ по математике, 31.05.2016. Задания 21-26

21 задание. Решите уравнение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Решение. показать

22 задание. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую - со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение. показать

23 задание. Постройте график функции

и определите, при каких значениях $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямая $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение. показать

24 задание. Отрезки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ пересекаются в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Найдите $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

25 задание. В остроугольном треугольнике $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ проведены высоты $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Докажите, что углы $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равны.

Решение. показать

26 задание. Середина $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ стороны $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ выпуклого четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , а углы $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ четырехугольника равны соответственно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Инна | Отзывов нет

2016-05-16

16 Май 2016

15 Задание (2022) (C4)Диагностические работы

Задание 16 из Досрочного ЕГЭ по математике 28.03.2016

Точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - центр окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - центр вписанной в него окружности, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - точка пересечения высот. Известно, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

а) Докажите, что точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежит на окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

б) Найдите угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Решение.

показать

Пусть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . По условию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как треугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - равнобедренный, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

117

Так как $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - центральный, а угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ вписанный, по свойству вписанного угла получим равенство:

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

а) Точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежит на окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . (Так как геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом есть дуга окружности, концами которой являются конца отрезка).

Докажем, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Продолжим высоту $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до пересечения с окружностью, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Обозначим эту точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

117

По свойству ортоцентра треугольника, точка симметрична точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ относительно стороны $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , поэтому $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ вписан в окружность, сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , поэтому $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Первое утверждение доказано.

б) Докажем, что точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , центр вписанной окружности треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ также лежит на окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Докажем, что угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ также равен $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

118

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, поэтому $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Итак, мы выяснили, что точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежат на окружности, описанной около треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Найдем угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , при условии, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Выясним, в каком порядке расположены на окружности точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Для этого найдем величины углов $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - чем больше угол, тем длиннее соответствующая хорда и дальше расположена соответствующая точка от вершины $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Следовательно, точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ расположены именно так, как указано на рисунке.

Вписанный угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и вписанный угол $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ опираются на одну хорду $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, они равны.