Репетитор по математике

Преобразуем исходное неравенство:

Умножим обе части на :

Для левой части неравенства воспользуемся следующим свойством неотрицательных чисел:

, причем  только если  .

Тогда для левой части нашего неравенства справедливо соотношение:

отсюда:

Значит,

Таким образом, чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно  решение, параметр должен удовлетворять неравенству:

.

Далее, так как , следовательно,

Получим следующее ограничение на параметр :

.

Решим это неравенство относительно  параметра и найдем наибольшее значение параметра, удовлетворяющее неравенству:

Отсюда [].

Наибольшее значение , удовлетворяющее условию задачи .

Ответ: 

Сразу отметим, что .

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Освободимся от свободных членов в показателях степеней:

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями:

Разделим обе части уравнения на :

Теперь возможны варианты:

1)  в этом случае левая часть равна нулю, а правая нет. То есть при уравнение не имеет решений.

2) Разделим обе части на , получим:

Оценим, какие значения может принимать левая часть уравнения:

, тогда  

Уравнение имеет решения, если правая часть также больше или равна 1.

Получаем систему ограничений на параметр :

Решим второе неравенство:

С учетом первого условия получим:

Ответ: [

Решение данной  задачи аналогично решению этой.

Преобразуем в правой части уравнения произведение тригонометрических функций в их сумму.

Теперь левую часть представим в виде комбинации выражений и  :

Получим уравнение:

Перепишем его в таком виде:

Рассмотрим функцию

Исследуем ее на монотонность:

Следовательно, функция  возрастает при любом значении , и при различных значениях аргумента она принимает различные значения.

И если , то .

Тогда уравнение  имеет два различных корня, если  имеет два различных корня уравнение

.

Квадратное уравнение имеет два различных решения, если  

Отсюда .

Наибольшее целое значение , удовлетворяющее этому неравенству

Ответ: 0.

Рассмотрим первое уравнение системы.

Геометрически выражение означает расстояние между точками и ;

выражение означает расстояние между точками и .

Выражение означает, что сумма расстояний от точки  до точек  и  равно .

Расстояние между точками  и  равно .

То есть сумма расстояний от точки  до точек  и  равнa длине отрезка . Следовательно, точка  принадлежит отрезку , отсюда .

Рассмотрим второе уравнение:

- это прямая линия, параллельная оси ОХ. Чтобы эта прямая пересекала отрезок , нужно, чтобы выполнялось условие:

Левая часть двойного неравенства выполнятся автоматически по свойству модуля.

Решим неравенство

С учетом ограничения на запишем систему:

Ответ: [1;6]

Будем решать графическим способом.

Построим график первого уравнения:

Раскроем модуль:

1. - это полуплоскость, которая находится выше прямой .

В этой области раскрываем модуль с тем же знаком:

Нас интересует часть параболы, лежащая выше прямой :

2)  - это полуплоскость, которая находится  ниже прямой .

В этой области раскрываем модуль с противоположным знаком:

Нас интересует часть параболы , расположенная ниже прямой  :

Итак, график первого уравнения системы имеет вид:

Второе уравнение системы: .

График уравнения представляет семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, проходящих через точку с координатами (0;-3).

Нас интересует, при каких значениях  параметра график функции  имеет единственную точку пересечения с графиком уравнения .

Очевидно, что это происходит в том случае, если график функции  касается графика уравнения :

Составим уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с координатами (0;-3).

Пусть абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной имеет вид:

Здесь:

После упрощения получим ,

Нас интересует значение  

Тогда 

Уравнение касательной имеет вид:

Отсюда .

Строго говоря, нас интересовал только коэффициент наклона касательной. Коэффициент наклона касательной равне производной функции в точке касания.

Составим уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с координатами (0;-3).

Здесь:

После упрощения получим:  

Нас устраивает

Тогда

Ответ:

Перепишем уравнение в таком виде:

Будем отвечать на вопрос задачи, используя графики.

Построим графики левой и правой частей уравнения:

и .

График функции имеет такой вид:

, если или

, если

Рассмотрим подробнее график функции . Он получается из графика функции сдвигом на единиц вдоль оси и на единиц вдоль оси .

При изменении параметра мы получаем семейство "уголков" вида , вершина которых двигается вдоль прямой .

Осталось зафиксировать моменты, когда "уголок" имеет 3 точки пересечения с графиком функции :

"Уголок" имеет с графиком функции  три общие точки в двух случаях:

- если его левая ветка проходит через точку

- если его левая ветка касается графика функции  в точке .

Найдем соответствующие значения параметра.

1 случай. Подставим координаты точки в уравнение функции .

Решив это уравнение, получим .

2 случай.

Найдем координаты точки . Абсцисса точки  - это абсцисса точки касания прямой, параллельной прямой (левая ветка уголка параллельна этой прямой)  и графика функции .

Коэффициент наклона касательной равен производной функции в точке касания. Получим: , .

Найдем ординату точки касания:

Подставим координаты точки в уравнение функции :

Это уравнение равносильно системе:

Отсюда

Ответ: {}

Перепишем исходное уравнение в таком виде:

Введем замену переменной . Эта замена не облегчит жизнь принципиально, но немного упростит уравнение.

Получим:

Мы очевидным образом можем оценить значение выражения : . Заметим, что наименьшее значение, равное 10, выражение  принимает при .

Теперь перепишем уравнение в таком виде:

Итак, левая часть этого уравнение принимает наименьшее значение, равное 10 при .

Оценим правую часть.

Рассмотрим функцию .

Если , то . При этом, с каким бы знаком мы ни раскрыли первый модуль, получится линейная функция, у которой коэффициент при будет больше нуля. Следовательно, при  функция  возрастает.

Если , то . При этом, с каким бы знаком мы ни раскрыли первый модуль, получится линейная функция, у которой коэффициент при будет меньше нуля. Следовательно, при  функция  убывает.

Отсюда следует, что функция  принимает наибольшее значение в точке , и оно равно .

Исходное уравнение будет иметь решения, если .

Теперь осталось найти, при каких значениях выполняется неравенство 

При :

:

При :

:

Ответ: []; []