Репетитор по математике

а) Построим сечение пирамиды плоскостью согласно условиям задачи.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости. Нам нужно провести через точку две прямые, перпендикулярные  .

Так как  -  высота треугольника , . Проведем через точку прямую параллельно . Отсюда .

- высота пирамиды, точка - точка пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника .  перпендикулярна плоскости , следовательно, .

Опустим из точки перпендикуляр   на плоскость . Так как - наклонная, - ее проекция, .

, следовательно, .

Итак, плоскость, проходящая через точку перпендикулярно   содержит прямые и .

Проведем через точку   прямую параллельно . Четырехугольник   - искомое сечение:

б) Найдем площадь четырехугольника .

, следовательно, четырехугольник - трапеция. - ее высота.

, , , отсюда

Из треугольника   найдем

По теореме Пифагора из треугольника :

, отсюда

Из подобия этих же треугольников получим (1)

Чтобы найти , большее основание трапеции , сделаем выносной чертеж:

Найдем, в каком отношении точка делит сторону . Проведем через точку прямую  .

По теореме Фалеса и из (1)

По свойству точки пересечения медиан

Тогда по теореме Фалеса 

Пусть  , тогда .

Из подобия треугольников  и  получим , отсюда  .

Тогда площадь трапеции  равна:

Ответ:

Решение этой задачи с помощью метода координат. (Сергей Симутин)

Задание 14 Брянск

Для простоты картины введем замену:

Получим уравнение: .

Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не равен нулю, и не забываем, что тангенс содержит скрытую дробь. Получим:

Отсюда 

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, формулой тангенса и перепишем уравнение в виде:

Сократим дробь, получим:

Приравняем каждый множитель к нулю:

или  - не подходит по ОДЗ.

Решим первое уравнение. Разделим обе части на ,  получим:

Вернемся к исходной переменной:

Будем перебирать значения , чтобы найти значения , принадлежащие отрезку

[].

1.   - принадлежит отрезку.

2.   - не принадлежит отрезку, дальше увеличивать  смысла нет.

3.  -  принадлежит отрезку.

4.  -  принадлежит отрезку.

5.  -  принадлежит отрезку.

6.  - не принадлежит отрезку. Дальше при уменьшении   значения  в отрезок не попадают.

Ответ: а) ,

б)

Заметим, что если мы в системе поменяем местами и , то система не изменится. Это значит, что если пара является решением системы, то пара также будет решением данной системы. В случае, если , мы не получаем симметричного решения. Поэтому система может иметь ровно три решения только в том случае, если среди решений присутствует решение .

Так же легко проверить, что если тройка чисел является решением исходной системы, то тройка чисел  также будет решением системы. Поэтому если число удовлетворяет заданным условиям, то число  также будет удовлетворять.

Найдем все значения параметра , при которых среди решений системы содержится решение .

В этом случае получим систему:

Из первого уравнения получаем

Подставим во второе уравнение:

, отсюда или 

Подставим во второе уравнение:

, отсюда или .

Проверим, сколько корней будет иметь исходная система при   и при .

Проверим .

Получим систему:

Построим графики каждого уравнения. Начнем со второго.

Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю, и получим прямые, которые разбивают плоскость на области, в которых подмодульные выражения сохраняют знак:

Пронумеруем эти области:

Расставим знаки:

Раскроем модули в уравнении в каждой области:

Получим график второго уравнения:

Нанесем на этот чертеж график первого уравнения: это зеленая окружность с центром в точке .

Мы видим, что в этом случае система имеет три решения, и значение параметра нам подходит. Следовательно, значение  также подойдет.

Проверим .

При  , мы получим границы областей :

Знаки подмодульных выражений в этих областях:

Раскроем модули в уравнении в каждой области:

В этом случае получим такой график:

При система имеет единственное решение, это значение нам не подходит. Соответственно  также не подойдет.

Ответ: 1; -1