Решение задач по математике - алгоритмы решения всех типов задач

« Назад 1 2 … 14 15 16 17 18 19 20 … 64 65 Вперед »

2016-08-19

19 Авг 2016

МГУ, ДВИ

Неравенство треугольника и наименьшее значение выражения. ДВИ МГУ 2016

В этой статье вы найдете пошаговое решение 8 задачи из ДВИ в МГУ 2016.

Найдите наименьшее значение выражения

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

и все пары $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , при которых оно достигается.

Решение. показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике. Квадратичная функция и ее график

Инна | Отзывов (7)

2016-07-29

29 Июл 2016

МГУ, ДВИСТЕРЕОМЕТРИЯ

Задача по стереометрии. ДВИ МГУ, 2015

В этой статье мы рассмотрим решение задачи по стереометрии из ДВИ в МГУ, 2015 г.

В правильную треугольную призму с основаниями $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и ребрами $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , где $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - точки, лежащие на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ соответственно, и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

Сразу заметим, что если в правильную призму вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы, а высота призмы равна диаметру этой окружности.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно провести плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй прямой. А затем найти расстояние от любой точки второй прямой до этой плоскости.

Проведем плоскость, содержащую прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и параллельную прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Проведем через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Затем через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ проведем прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Плоскость $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ проведем прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - прямоугольник, отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Отметим на отрезке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ так, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как по условию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середина $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - параллелограмм, отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно, четырехугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - параллелограмм и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Следовательно плоскость, проходящая через точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ содержит прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и параллельна прямой $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Построим сечение пирамиды этой плоскостью. Проведем прямую $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до пересечения с ребром $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - середина отрезка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , она лежит на медиане треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , проведенной из точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Кроме того, точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ делит эту медиану в отношении $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , считая от вершины. (По теореме Фалеса.) Следовательно точка $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - точка пересечения медиан треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , и отрезок $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - медиана треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Проведем через точку $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ прямую, параллельную $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым), и получим сечение пирамиды плоскостью $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

Вы можете отследить по шагам построение сечения, а также повращать пирамиду и исследовать ее с разных ракурсов:

Так как прямая $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , расстояние от любой точки этой прямой до плоскости равно расстоянию между прямыми $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , и по условию равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Найдем радиус вписанной сферы.

Введем декартову систему координат и найдем расстояние от точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Пусть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ ,

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ высоты треугольника),

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Расстояние от точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равно $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Выпишем координаты точек $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Уравнение плоскости имеет вид $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Так как плоскость проходит через начало координат, $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Подставим координаты точек $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в уравнение плоскости. Получим систему:

Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Подставим в уравнение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Разделим на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и получим уравнение плоскости:

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Расстояние от точки $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ до плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ находится по формуле:

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

В нашем случае $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ :

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ ,

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Ответ: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

И.В. Фельдман, репетитор по математике. Квадратичная функция и ее график

Инна | Отзывов нет

2016-07-27

27 Июл 2016

МГУ, ДВИПЛАНИМЕТРИЯ

Задача по планиметрии. ДВИ МГУ, 2015 год.

В этой статье мы рассмотрим решение задачи по планиметрии из ДВИ в МГУ, 2015 г.

Окружность радиуса 3/2 касается середины стороны $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ треугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и пересекает сторону $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точках $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ так, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Чему может равняться $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ ?

Решение. показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Инна | Отзывов нет

2016-07-27

27 Июл 2016

МГУ, ДВИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Текстовая задача. ДВИ МГУ, 2015 год

В этой статье мы рассмотрим решение текстовой задачи из ДВИ в МГУ, 2015 г.

Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт Б. Проехав треть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадежно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошел пешком обратно в пункт А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта А выехал мотоциклист Григорий. На каком расстоянии от пункта А он встретит Василия, если пункт Б отстоит от пункта А на 4 км, а Василий доберется до пункта А тогда же, когда Григорий до пункта Б? Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.

Решение. показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Инна | Отзывов нет

2016-07-26

26 Июл 2016

МГУ, ДВИ

Математика. ДВИ МГУ. Условия задач, ответы и решения

В этой статье вы найдете условия задач, ответы и решения ДВИ МГУ.

МГУ ДВИ 2018

Решение. (вар.2)

1-4, 5, 6, 7, 8

2017 год.

2017 год, филиалы

Решение. (вар.2)

1-4, 5, 6, 8

2016 год

В задаче №7 нужно ответ умножить на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

1, 2, 3, 4 Далее

Инна | Отзывов нет

2016-07-25

25 Июл 2016

МГУ, ДВИ

Задачи 1- 4 из ДВИ МГУ 2016

В этой статье вы познакомитесь с решением первых четырех задач из ДВИ в МГУ по математике 2016 года.

Задача 1. Найдите $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Решение. показать

Задача 2. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ равна 5. Найдите все возможные значения $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

Задача 3. Решите уравнение

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Решение. показать

Задача 4. Решите неравенство

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Решение. показать

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Инна | Отзывов нет

2016-07-23

23 Июл 2016

МГУ, ДВИСТЕРЕОМЕТРИЯ

Задача по стереометрии. ДВИ МГУ 2016

В основании правильной пирамиды с вершиной $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ лежит шестиугольник $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ со стороной 14. Плоскость $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельна ребру $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , перпендикулярна плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и пересекает ребро $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , так что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Кроме того, прямые, по которым $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ пересекает плоскости $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ параллельны. Найдите площадь треугольника, отсекаемого плоскостью $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ от грани $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Решение. показать

И.В. Фельдман, репетитор по математике. Квадратичная функция и ее график

Инна | Отзывов (7)

2016-07-22

22 Июл 2016

МГУ, ДВИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Текстовая задача. ДВИ МГУ 2016

Ровно в 9:00 из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две третьих пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимом него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автобус. Когда до пункта А оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт А, если известно, что автобус прибыл в пункт А ровно в 11:00? Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.

Решение. показать

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Инна | Отзывов (5)

2016-07-20

20 Июл 2016

15 Задание (2022) (C4)МГУ, ДВИПЛАНИМЕТРИЯ

Задача по планиметрии. ДВИ МГУ, 2016 год.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Хорда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ внешней окружности касается внутренней окружности в точке $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Прямая $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ пересекает внешнюю окружность в точках $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Найдите площадь четырехугольника $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , если известно, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , а радиусы окружностей относятся как $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .