Репетитор по математике

16,25% выпускников города N сдали ЕГЭ по математике более чем на 80 баллов, 17,45% учеников получили на экзамене от 60 до 80 баллов, остальные получили менее 60 баллов. Назовите наименьшее возможное число выпускников в городе N.

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах.

Определите по рисунку, на сколько вольт упадет напряжение за первые 2 часа работы фонарика.

На клетчатой бумаге с размером клетки см х см изображён круг. Найдите длину хорды .

На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка имеет дефект. Ответ округлите до сотых.

Най­ди­те корни урав­не­ния: . В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Окружность находится внутри другой окружности и касается ее внутренним образом. Внутри большей окружности поведена хорда , которая касается меньшей окружности и делится точкой касания пополам. Чему равен радиус большей окружности, если радиус меньшей окружности равен 5, а .

На рисунке изображены график функции   и касательная к этому графику, проведённая в точке . Найдите значение производной функции   в точке .

Сечение цилиндра параллельно его оси и пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу основания. Известно, что площадь сечения равна 16. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Найдите значение выражения 

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону    (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 4 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .

Найти разность квадратов суммы кубов чисел 2 и 3 и куба их суммы.

На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 8-го клас­са по ма­те­ма­ти­ке в 2007 году (по 1000-балль­ной шкале). Насколько процентов средний балл участников из Швеции больше, чем участников из Румынии. Результат округлите до целого числа процентов.

Найдите тангенс угла .

Стрелок производит выстрел в центр квадратной мишени с диагональю 2 м. Какова вероятность попасть в мишень, если пуля может отклониться от центра в случайном направлении и попасть в случайную точку квадрата или рядом с ним, но не дальше одного метра от цента мишени. Результат округлите до тысячных.

Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший корень.

Через вершины и  треугольника проведена окружность, пересекающая стороны и в точках и соотвественно. Известно, что . Найдите длину стороны .

Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела через 3 секунды после начала движения.

В треугольную пирамиду с высотой 27 вписан конус. Известно, что боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Найдите объем конуса, если стороны основания пирамиды равны 13, 20, 21. В ответе запишите .

Найдите значение выражения , если 

Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объeм и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем  , где p (атм.) — дав­ле­ние в газе, V — объeм газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объeм газа равен 64 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. В со­от­вет­ствии с тех­ни­че­ски­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми пор­шень на­со­са вы­дер­жи­ва­ет дав­ле­ние не более 128 ат­мо­сфер. Опре­де­ли­те, до ка­ко­го ми­ни­маль­но­го объeма можно сжать газ. Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

Цена первого товара на 10% больше цены второго товара. На второй товар цена вначале поднялась на 21%, а потом еще раз поднялась на 25%. На сколько процентов требуется поднять цену первого товара, чтобы цены обоих товаров стали одинаковыми?

Найдите число критических точек функции на интервале .

В школе два седьмых класса. В первом 20 учеников, и их средний рост равен 159 см. Во втором − 30 учеников, их средний рост равен 154 см. Найдите средний рост всех семиклассников школы.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 2005 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей температурой в 2005 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Треугольник задан координатами своих вершин: . Точка делит высоту   в отношении , считая от точки . Найдите .

Монету бросают 8 раз. Найдите вероятность того, что выпадет ровно 4 орла. Результат округлите до сотых.

Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

Трапеция с основаниями и вписана в окружность. . Высота трапеции равна . Найдите радиус описанной окружности. В ответ запишите

Для машины, движущейся со скоростью 30 м/с, тормозной путь определяется формулой , где –  путь в метрах, – время торможения в секундах. В течение какого времени осуществляется торможение до полной остановки машины?

Около прямоугольного параллелепипеда с ребрами описана сфера . Через середину диагонали параллелепипеда проведена плоскость , перпендикулярная этой диагонали. Найдите наибольший возможный радиус сферы расположенной внутри сферы , которая касается плоскости  и сферы .

Найдите значение выражения

Для проведения ЕГЭ по математике было заготовлено 400 листов бумаги. Но так как на экзамен по болезни не явилось 20 человек, то на каждого экзаменующегося пришлось на 1 лист бумаги больше. Сколько листов бумаги было заготовлено на каждого экзаменующегося первоначально?

Сколько точек экстремума имеет функция  ?

Предложил черт лодырю: «Всякий раз, как перейдешь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 24 копейки.» Трижды перешел лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря первоначально?

На диа­грам­ме по­ка­зан сред­ний балл участ­ни­ков 10 стран в те­сти­ро­ва­нии уча­щих­ся 8-го клас­са по ма­те­ма­ти­ке в 2010 году (по 1000-балльной шкале). Най­ди­те медианный балл участников тестирования.

Даны координаты вершин треугольника : . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Игральный кубик бросают 8 раз. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.

Решите уравнение: . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

В треугольнике . Точка — точка пересечения медианы и биссектрисы . Найдите площадь треугольника , если площадь треугольника  равна .

Найдите абсциссу точки пересечения касательной к графику функции в точке  с осью абсцисс.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Проекция вершины пирамиды лежит внутри основания. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.

Найдите значение выражения .

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону   (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первых трех секунд скорость движения превышала 5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

В первом сплаве золота и серебра количество этих металлов находится в отношении 2:5, а во втором — в отношении 3:4. Сколько грамм первого сплава надо взять, чтобы получить 210 г сплава с отношением золота и серебра 8:13?

При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два решения. Если условие выполняется при нескольких значениях параметра , в ответе запишите их сумму.

Из 1 л кефира получается 200 г творога.  Пакет кефира, объемом 800 мл стоит 48 рублей. Готовый творог на рынке стоит 150 руб за кг. На сколько процентов самодельный творог дороже рыночного?

На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа в указанный период количество посетителей сайта РИА Новости во второй раз превысило 750 тыс человек.

.

Найдите площадь треугольника, образованного графиками функций , и осью абсцисс.

Купив лотерейный билет, можно выиграть 500 руб с вероятностью 1%, 100 руб с вероятностью 10% и 10 рублей с вероятностью 25%. Лотерейный билет стоит 25 рублей. На сколько рублей математическое ожидание выигрыша меньше стоимости одного билета?

Найдите наименьший положительный корень уравнения

В треугольнике  со сторонами  проведены биссектрисы . Пусть точка  — точка пересечения отрезка с биссектрисой . Найдите .

Найдите угол между положительным направлением оси и касательной, проведенной к графику функции  в точке его пересечения с осью ординат.

В правильной шестиугольной призме площадь основания равна 18, боковое ребро равно 14. Точка делит ребро в отношении , считая от точки . Найдите объем многогранника

Найдите значение выражения

Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону  , где t — время в минутах, мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин— угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки  достигнет . Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Чтобы сдать курсовую работу вовремя, студент Иван Петров решил каждый день увеличивать количество написанных страниц работы на одно и тоже число. Известно, что за пятый и девятый день он написал в сумме 18 страниц.  Сколько страниц в курсовой работе, если Иван Петров написал её за 13 дней.

Найдите наименьшее значение параметра , при котором длина промежутка убывания функции равна 7.

Апельсины в магазине стоили 60 руб за кг.Евлампия купила 5 кг апельсинов с 15% скидкой. Дома оказалось, что 14% из них испорченные, но остальных как раз хватило для Большой Цитрусовой вечеринки, которую Евлампия устраивала для подруг. Если бы Евлампия купила апельсинов ровно столько, сколько ей в результате понадобилось для вечеринки, пусть без скидки, зато все хорошие — она сэкономила бы или потратила бы лишнего? Какую именно сумму?

Индекс уровня продолжительности жизни (Life Expectancy Index) — это основной показатель средней ожидаемой продолжительности жизни в странах мира. Эта таблица содержит актуальный (периодически обновляемый) список стран и территорий мира, упорядоченных по уровню продолжительности жизни, представленному для всего населения. Последние данные представлены по состоянию на 2017 год (опубликованы в 2018 году). Найдите на сколько процентов ожидаемая продолжительность жизни в России меньше, чем средняя ожидаемая продолжительность в странах, находящихся в первых 5 строчках таблицы. Ответ округлите до целого числа.

Найдите большую высоту параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в сантиметрах.

Стрелок стреляет по мишени. Вероятность попадания в каждом броске равна 0,3. Какова вероятность, что стрелок попадет ровно три раза из четырех попыток?

Решите уравнение

В треугольнике со сторонами и проведены высоты   и . Найдите . В ответе запишите

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале , и касательная к нему в точке с абсциссой x₀ =-3. Найдите производную функции в точке x₀ =-3.

Сфера радиуса 1,5 описана около прямоугольного параллелепипеда, у которого сумма ребер, выходящих из одной вершины равна 5. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Найдите значение выражения , если известно, что .

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где  — постоянная, r — радиус аппарата в метрах,   кг/м — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте  Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 141750 Н? Ответ выразите в метрах.

Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое тело проходит окружность на 2 сек быстрее второго и догоняет второе тело каждые 12 сек. За сколько секунд первое тело проходит  окружность?

Найдите количество целых значений , принадлежащих интервалам убывания функции и находящихся на отрезке .

Деталь на чертеже, масштаб которого 1:10 имеет длину 3,6 см. Какую длину будет иметь эта деталь на чертеже, масштаб которого 1:6.

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку сколько раз за это время температура была ровно -16 градусов.

Одна из сторон треугольника равна 14,8. Медиана, проведенная к этой стороне равна 7,4. Найдите больший угол треугольника. Ответ запишите в градусах.

Монету подбрасывают 5 раз. С какой вероятностью найдутся два идущих подряд броска с одинаковым результатом? (То есть выпадут подряд две «решки» или два «орла»).

Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму корней.

Трапеция вписана в окружность. Найдите периметр трапеции, если точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении 1:2, большее основание трапеции равно 6 и в трапецию можно вписать окружность.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале , и касательная к нему в точке с абсциссой x₀ =2. Найдите производную функции в точке x₀ =2.

Основанием прямой призмы служит ромб со стороной 5. В призму вписан шар радиуса 3. Найдите объем призмы.

Найдите , если .

Опаздывая на работу, человек побежал вниз по эскалатору метро. Спускаясь со скоростью две ступени в секунду, он насчитал сто сорок ступеней. Через день ситуация повторилась, но теперь он бежал быстрее — со скоростью три ступени в секунду, при этом насчитал на двадцать восемь ступенек больше. Странно получилось: чем быстрее бежишь, тем длиннее эскалатор. Сколько ступенек на открытой части эскалатора?

Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку .

Сколько сахара надо добавить к 480 г воды, что чтобы получить четырёхпроцентный раствор сахара?

На рисунке изображено, как изменялся курс тугрика в течение недели. У Пети было 30 рублей. В один из дней недели он обменял все свои рубли на тугрики. Потом он обменял все тугрики на рубли. Затем он ещё раз обменял все вырученные рубли на тугрики, и в конце концов, обменял все тугрики обратно на рубли. Напишите, в какие дни он совершал эти операции, если в воскресенье у него оказалось 54 рубля. В ответе запишите номера дней недели без пробелов. Понедельник считаем первым днем недели.

Длину прямоугольника уменьшили на 3 см, а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат. Найдите сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 30 см.

На конкурс «Юные таланты» приехали ребята из разных стран: пятеро из России, шестеро из Австрии и восемь человек из Франции. Очередность выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первые три выступающих будут из одной страны. Результат округлите до тысячных.

Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

В треугольнике  ; , . Найдите площадь треугольника.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-7;7). Пользуясь графиком, найдите значение выражения

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен , площадь боковой поверхности равна 54. Найдите объем пирамиды.

Найдите значение выражения

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием  см. Расстояние  от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 100 до 120 см, а расстояние  от линзы до экрана — в пределах от 120 до 140 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Первый велосипедист стартует в гонке по шоссе. Через 30 сек вслед за ним стартует второй велосипедист, скорость которого на 20% больше. Второй гонщик догнал первого на расстоянии 2 км от старта. Найдите скорость первого велосипедиста. Ответ запишите в км/ч.

Объем цилиндра равен . Каким должен быть радиус основания, чтобы площадь полной поверхности цилиндра была наименьшей?

Затраты на производство одного микропроцессора составляют 75 евроцентов (один евро равен ста евроцентам). Испытания успешно проходит только 5 % продукции, а остальное идёт в брак. Компания включает затраты на производство всех процессоров в себестоимость исправных процессоров. Найдите цену (в евро) одного исправного процессора, поступившего в продажу, если компания получает от его продажи 10 % прибыли.

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах.

Определите по рисунку, на сколько вольт упадет напряжение за 4 часа работы фонарика, если начать отсчитывать время через 2 часа после начала его работы.

Часы показывают 10 минут шестого. Найдите меньший угол между стрелками часов. Ответ запишите в градусах.

В коробке 4 зеленых и 5 красных шариков. Чему равна вероятность того, что при случайном выборе из 6 выбранных шариков окажется 2 зеленых и 4 красных. Результат округлите до сотых.

Решите уравнение: . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите произведение корней.

В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена медиана и биссектриса . Найдите площадь треугольника.

К графикам функций  и в точке их пересечения проведены касательные. Найдите угол между касательными. Ответ запишите в градусах.

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной и углом при вершине . Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Найти радиус описанного около пирамиды шара.

Найдите значение выражения

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде  , где (Па) — давление в газе, — объeм газа в кубических метрах, — положительная константа. При каком наименьшем значении константы  увеличение в 3 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 9 раз?

Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Найдите точку минимума функции