Репетитор по математике

В тире действует правило: при покупке 5 выстрелов за каждое попадание в цель дается дополнительно 2 бесплатных выстрела. Вася сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?

Внутренний угол правильного n-угольника относится к внешнему как 13:2. Найдите число сторон многоугольника.

Монету бросают 10 раз. Во сколько раз число исходов, благоприятствующих событию «орел выпадет 5 раз» больше числа исходов, благоприятствующих событию «решка выпадет 7 раз»?

Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите произведение корней.

В трапеции ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы внешних углов при вершинах C и D пересекаются в точке N. Найдите периметр трапеции, если MN=12.

Известно, что ; . Найдите тангенс острого угла между касательными, проведенными к графику функции в точках и . Результат округлите до сотых.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD.  На боковом ребре AS выбрана точка M так, что AM:MS=2:5. Точка K — середина ребра AB. Найдите объем пирамиды AKCM,  если объем пирамиды SABCD равен 49.

Найдите значение выражения .

При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где   м — длина покоящейся ракеты,   км/с — скорость света, а — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 6 м? Ответ выразите в км/с.

Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом и на 30% больше, чем во третьем. Сколько орехов в третьем ящике, если в нем на 80 орехов меньше, чем в первом?

Найдите наименьшее значение выражения .

В одной ёмкости было 100 л молока, а в другой —  90 л растительного масла. Молоко и масло решили разлить в одинаковые сосуды. Когда сосуды заполнили, оказалось, что в первой емкости осталось 4 литра молока, а во второй 18 литров масла. Найдите объем сосудов.

На графике, изображённом на рисунке, представлено изменение биржевой стоимости акций нефтеперерабатывающей компании в первые две недели октября. 1 октября бизнесмен приобрёл 10 акций этой компании. 3 из них он продал 12 октября, а 14 октября продал остальные 7. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?

Найдите площадь треугольника, ограниченного осью абсцисс и прямыми  и .

Игральный кубик бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет не больше 15 очков. Результат округлите до сотых.

Решите уравнение: . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Две пересекающиеся окружности имеют общую хорду. Центры окружностей расположены по одну сторону от общей хорды. Хорда является стороной правильного треугольника, вписанного в меньшую окружность и стороной квадрата, вписанного в большую окружность. Найдите отношение квадрата радиуса большей окружности к квадрату радиуса меньшей.

Прямая  является касательной к графику функции . Найдите ординату точки касания.  

Из конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды вырезали конус, вписанный в эту пирамиду. Найдите объем получившейся фигуры, если сторона основания пирамиды равна , боковое ребро равно  . В ответе запишите .

Найдите значения выражения , если

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,4 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста со скоростью 15 км/ч и 10 км/ч. Вместе с первым велосипедистом выбежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго велосипедиста, собака повернула обратно и побежала навстречу первому велосипедисту. Встретив первого велосипедиста, она снова повернула. Собака бегала между велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Сколько километров пробежала собака?

Найдите наименьшее значение площади треугольника , если точка   лежит в начале координат, точка лежит на графике функции ,  точка лежит на оси  и абсцисса точки равна ординате точки .

Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10% с назначенной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?

На рисунке изображена потребляемая мощность электроэнергии в городе N в течение суток. По горизонтали указываются часы суток, по вертикали — мощность в мегаваттах. Какова разница между наибольшим и наименьшим значениями потребляемой мощности в период с 2 до 14 часов? Ответ дайте в мегаваттах.

Найдите площадь правильного 12-ти угольника, если радиус описанной около него окружности равен 6.

В коробке 9 синих и 16 красных карандашей. Из коробки не глядя вынимается два карандаша. Найдите вероятность того, что оба карандаша синие.

Решите уравнение

Две окружности касаются в точке . К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках и . Найдите угол .

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−9; 9). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−8; 8].

Боковые грани 11-угольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом  . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь основания равна 120.

Найдите значение выражения .

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности  , оперативности , объективности публикаций , а также качества сайта . Каждый отдельный показатель − целое число от 0 до 4.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид .

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число , при котором это условие будет выполняться.

В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюминия добавили 15 кг магния, после чего содержание магния в сплаве повысилось на 33%. Сколько весил сплав первоначально?

Найдите наибольшее значения функции на отрезке .

В трех ящиках было кофе. Если бы в из первого ящика переложили в третий 20,04 кг, и из второго в третий 12,004 кг, то во всех трех ящиках оказалось по 40 кг кофе. Найдите первоначальную массу кофе в каждом ящике. В ответ запишите меньшее число.

Диагонали ромба относятся как 3:4. Найдите косинус тупого угла ромба.

В классе 30 учеников. Вероятность того, что случайно выбранный ученик — мальчик, равна 0,6, вероятность того, что случайно выбранный ученик имеет темные волосы, равна 0,3, а всего в класс 6 темноволосых мальчиков. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик  — светловолосая девочка.

Решите уравнение

В выпуклом четырехугольнике ABCD длины диагоналей равны 8 и 12. Длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника ABCD равны. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон четырехугольника ABCD.

Касательная к графику функции параллельна прямой . Найдите наибольшее отрицательное значение из всех возможных значений абсцисс точек касания.

Клин вырезали из круглого цилиндра с радиусом 4 двумя плоскостями. Одна плоскость перпендикулярна оси цилиндра, другая плоскость пересекает первую под углом 30 градусов. Плоскости пересекаются по прямой, которая является касательной к боковой поверхности цилиндра. Найти объем этого клина. В ответе запишите

Найдите значение выражения

Два тела массой  кг каждое движутся с одинаковой скоростью  м/с под углом  друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением  Под каким наименьшим углом  (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 108 джоулей?

Вторая бригада выполняет заказ на 1 час быстрее первой. Если бы производительность первой бригады была на 25% меньше, а второй на 40% больше, то вместе они выполнили бы заказ за 2 часа. За какой время выполняет заказ одна вторая бригада?

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Ананасы стоят 112 руб. за штуку. Какое максимальное число ананасов можно купить на 550 руб., если их цена сначала поднялась на 20%, а затем снизилась на те же 20%?

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Бре­сте каж­дый день с 6 по 19 июля 1981 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа месяца, по вер­ти­ка­ли — тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цельсия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны линией. Опре­де­ли­те по рисунку число дней, в которые температура не превышала 21 градус.

Найдите площадь закрашенной фигуры, если размер клетки 1х1:

У собак встречается опасное заболевание — пироплазмоз. При подозрении на пироплазмоз нужно взять анализ крови. Анализ оказывается положительным (показывает наличие возбудителя пироплазмоза) в 5% случаев. Но бывает (всего в 2% случаев), что диагноз оказывается положительным у здоровой собаки. Еще известно, что диагноз «пироплазмоз» в конечном итоге подтверждается всего в 4% случаев. У таксы Робин анализ на пироплазмоз оказался положительным. Найдите вероятность того, что Робин действительно болеет  пироплазмозом.

Решите уравнение

В остроугольном треугольнике точка — центр описанной окружности. Найдите угол , если угол равен

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 10). Найдите количество точек максимума функции f(x) на этом интервале.

Тупоугольный треугольник со сторонами, равными и и углом между ними вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности получившейся фигуры, деленную на .

Найдите значение выражения

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону   , где t — время в секундах, амплитуда  В, частота /с, фаза  Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

По шоссе в одну сторону движутся пешеход, велосипедист и мотоциклист. Когда пешеход и велосипедист оказались в одной точке, мотоциклист был на 9 км позади них. Когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист обогнал пешехода на 3 км.

На сколько км пешеход отстал от велосипедиста в тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста?

Найдите наименьшее значение функции

Иван Иванович получил следующую квитанцию на оплату электроэнергии за сентябрь:

Сколько он должен заплатить за электроэнергию? Ответ дайте в рублях.

Найдите 

На бесконечную шахматную доску, у которой все поля — квадраты со стороной 5, наудачу бросают монету радиусом 1. Найдите вероятность того, что монета целиком попадет в один квадрат.

Найдите сумму целых чисел, заключенных между корнями уравнения .

Диагонали трапеции равны 6 и 8, а расстояние между серединами оснований равно 5.  Найдите высоту трапеции.

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму корней уравнения  f’(x)=0.

Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами 4 и 8, а радиус описанной сферы равен 4,5.

Вычислить

Мячик брошен вертикально вверх. Пока мячик не упал на землю, его высота меняется по следующему закону: , где — время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд мячик будет находиться на высоте не менее 5,6 м.

Из пунктов А и В выехали одновременно навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от В, а в момент прибытия мотоциклиста в В велосипедист находился на расстоянии 15 км от А. Определите расстояние от А до В.

Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции , которые она принимает на отрезке  .

В мебельном магазине мебель можно купить в собранном виде или в разобранном. При покупке шкафа в разобранном виде дается скидка 10%. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф в собранном виде стоит 3500 руб. Покупатель решил купить шкаф в разобранном виде, и заказать его сборку на дому. Во сколько рублей обойдется ему эта покупка?

На рисунке изображена потребляемая мощность электроэнергии в городе N в течение суток. По горизонтали указываются часы суток, по вертикали — мощность в мегаваттах. Какова разница между наибольшим и наименьшим значениями потребляемой мощности в период с 2 до 14 часов? Ответ дайте в мегаваттах.

Найдите площадь треугольника , заданного координатами своих вершин: .

Магазин продает автомобильный фонари, изготовленные в городе А и в городе К. Известно, что процент брака фонарей, изготовленных в городе А равен 4%, а в городе К — 2%, и из всех фонарей, поступивших в продажу бракованных 3,8%.

С какой вероятностью купленный в магазине бракованный фонарь изготовлен в городе А? Результат округлите до сотых.

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения . Ответ запишите в градусах.

В трапеции диагонали  и  пересекаются в точке . Площадь треугольника равна , площадь треугольника равна . Найдите площадь треугольника .

На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−2; 12). Найдите сумму решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−1; 8].

В правильной шестиугольной призме , объем которой равен 18, проведена диагональ основания . Точка делит диагональ  в отношении , считая от точки  . Найдите объем многогранника .

Найдите наибольшее значение выражения .

Ученые определили, что количество тигров в популяции в некотором регионе уменьшается экпоненциально и описывается моделью , где и — константы, — количество тигров в популяции через лет после первого замера. Известно, что в 2015 году популяция насчитывала 10000 тигров, а в 2018 — уже 7290 тигров. Сколько тигров будет в популяции в 2020 году согласно этой модели? Ответ округлите до целого.

Из А выехал первый велосипедист, а через 15 минут вслед за ним выехал второй, который догнал первого велосипедиста на расстоянии 10 км от А. Когда второй велосипедист проехал отметку 50 км от А, первый отставал от него на 20 км. Найдите скорость второго велосипедиста.

Найдите наименьшее значение функции .

В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 8 человек следует взять фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 5 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг. Ответ округлите до целого числа граммов.

На рисунке жирными точками показан курс китайского юаня, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 23 сентября по 23 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена китайского юаня в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Семен Семенович решил заработать на колебаниях курса юаня и купил 1000 юаней 8 октября. 19 октября он решил перестать играть на бирже. Какую максимальную сумму (в рублях) он мог заработать за это время?

Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника .

Иван Иванович считает, что события «В огороде бузина» и «В Киеве дядька» независимы. Вероятность первого события равна , вероятность второго — . За последние три года почти ежедневных наблюдений (в течение каждого года наблюдения проводились 360 раз) оба события наблюдались совместно 270 раз. Какое предположение напрашивается?

Найдите вероятность того, что в огороде нет бузины, а в Киеве нет дядьки.

Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Окружность, проходящая через вершины и треугольника , пересекает стороны и в точках и соответственно, а отрезки и пересекаются в точке . Найдите , если .

При каком значении параметра гипербола касается параболы .

Радиус основания прямого цилиндра равен 13, высота  равна 17. Отрезки и   — параллельные хорды окружностей верхнего и нижнего оснований цилиндра соответственно, расположенные по разные стороны от оси цилиндра. Найти угол между сечением цилиндра плоскостью, проходящей через хорды  и и плоскостью основания.

Найдите значение выражения , если . Если вы получите несколько значений, в ответ укажите большее из них.

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону   (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 1,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 5. Если же это число разделить на первую цифру, то получится в частном 12 и в остатке 2. Найти это число.

Найти число целых точек, лежащих в области  значений функции , которые она принимает при .

Елена совершила международный звонок продолжительностью 12 минут. Стоимость одной минуты разговора 0,07 евро. Какая сумма в рублях была списана с банковской карточки Елены, если на момент разговора стоимость одного евро была равна 80,2 рубля и комиссия за перевод составила 3%.
Ответ округлите до сотых.

На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 10 по 26 ноября 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку на сколько процентов наименьшая цена никеля на момент закрытия торгов меньше наибольшей цены никеля на момент закрытия торгов в указанный период. Ответ округлите до сотых.

Найдите тангенс угла ABC:

Три усталых ковбоя зашли в салун и повесили свои шляпы на бизоний рог при входе. Когда глубокой ночью ковбои уходили, они были не в состоянии отличить одну шляпу от другой, и поэтому разобрали шляпы наугад. Найдите вероятность того, что никто из них не взял свою собственную шляпу. Результат округлите до сотых.

Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного решение, в ответе запишите больший корень.

Угол между хордой AB окружности и касательной, проведенной к окружности в точке A равен . Найдите радиус окружности, если .

На рисунке изображён график  — производной функции . Пользуясь рисунком, найдите корень уравнения   на отрезке   .

В правильной треугольной пирамиде площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна .

Найдите значение выражения .

Температура в градусах чашки кофе через минут после приготовления описывается функцией . Какова температура кофе сразу после его приготовления?

Поезд проходит мост длиной 450 м за 45 сек, а мимо стрелочника он проезжает за 15 сек. Найдите скорость поезда (в м/сек).

Найдите число точек экстремума функции .

Когда из первого бидона перелили во второй 12,5% находившегося в первом бидоне молока, то молока в бидонах стало поровну, по 35 литров. Сколько молока было во втором бидоне?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме на сколько процентов число месяцев с положительной среднемесячной температурой больше числа месяцев с отрицательной среднемесячной температурой.

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD  точка O — точка пересечения диагоналей. . Найдите площадь трапеции.

40% пакетов с молоком производят на молочном комбинате в Л., а остальные  — на молокозаводе в С. Известно, что в среднем 3% пакетов, поступивших в продажу, протекает, а среди пактов, изготовленных в Л. протекает в среднем 5%. Найдите вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. Результат округлите до сотых.

Найдите наименьший положительный корень уравнения .

Две стороны треугольника равны и , а медиана, проведенная к третьей стороне равна . Найдите синус угла между этой медианой и большей из заданных сторон.

Найти значения параметра , при котором график функции касается оси Ох.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6. Основание высоты пирамиды лежит в середине гипотенузы и высота равна 5. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания.

Найдите значение выражения при

При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где   м — длина покоящейся ракеты,   км/с — скорость света, а  — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 7 м? Ответ выразите в км/с.

В сосуде было 12 л соляной кислоты (чистой). Часть кислоты отлили и добавили такое же количество воды. Затем снова отлили столько же раствора и опять добавили воды. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 56,25%-й раствор соляной кислоты?

Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции , которые она принимает на отрезке .