Репетитор по математике

Для приготовления варенья требуются черная рябина, яблоки и сахар в соотношении 3:10:12. У хозяйки есть 4 кг черной рябины, 12 кг яблок и 6 кг сахара. Сколько килограмм варенья сможет сварить хозяйка их этих продуктов, если будет строго следовать рецепту?

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н м. На сколько увеличится крутящий момент при увеличении  числа оборотов с 1000 до 3500 об/мин?

Найдите площадь закрашенной фигуры.

В коробке лежат карандаши трех цветов: красные, желтые и синие. Синих карандашей на 20% меньше, чем красных и на 25% больше, чем желтых. Какая вероятность того, что вынутый наугад карандаш окажется желтым? Ответ округлите до сотых.

Найдите корни уравнения .  В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 7.

На рисунке изображен график функции . Найдите тангенс угла между касательными, проведенными к графику функции в точках и .

Толщина корки апельсина составляет 20% от его радиуса. (Будем считать, что апельсин имеет форму шара, и толщина корки везде одинакова). Какую часть от объема апельсина составляет объем корки?

Вычислите:

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:  , где  — длина ребра куба в метрах, кг/м  — плотность воды, а   — ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 153125  Н? Ответ выразите в метрах.

Две молотилки вместе обмолачивают хлеб за 12 дней. Если бы первая молотилка обмолотила половину хлеба, а затем вторая оставшуюся часть, то они проработали бы 25 дней. За сколько дней может обмолотить весь хлеб каждая молотилка в отдельности? В ответ записать большее значение.

Найдите точку максимума функции

Найти число, если 13% его составляют 32,5% от 8,5.

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н · м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой v = 0,036n, где n — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не меньше 120 Н · м? Ответ дайте в километрах в час.

Площадь круга уменьшилась на 19%. На сколько процентов при этом уменьшился радиус круга?

100 выпускников школы  сдавали  ЕГЭ по математике. Однако, не все ученики преодолели минимальный порог в 27 баллов. Оказалось, что из любых 95 выпускников школы обязательно найдется хотя бы один, который не преодолел минимальный порог, а среди любых 7 найдется хотя бы один, который преодолел минимальный порог. Найдите вероятность того, что случайно выбранный выпускник преодолел минимальный порог в 27 баллов.

Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите меньший корень.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 12, отсекает треугольник, периметр которого равен 51. Найдите периметр трапеции.

Найдите точку, в которой касательная к графику функции образует с осью Ох угол 

Вершина A куба   с ребром 1,2 является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

Найдите значение выражения   при  .

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой   Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону   (Гц), где c — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а  м/с. Ответ выразите в м/с.

Расстояние между городами, равное 480 км, пассажирский поезд должен проходить на 2 ч быстрее, чем товарный. Из-за ремонта путей пассажирский поезд вынужден был уменьшить скорость на 8 км/ч, а товарный  — на 12 км/ч. В результате на путь между городами товарный поезд затратил на 3 ч 20 мин больше, чем пассажирский поезд. Найдите скорость товарного поезда.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Бегун пробежал 450 м за 50 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 56?

Найдите вероятность того что в двузначном числе цифры отличаются не более чем на 2. Ответ округлите до сотых.

Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший корень.

Найдите наибольший угол треугольника со сторонами . Ответ запишите в градусах.

Найдите коэффициент наклона касательной, проведенной к графику функции в точке

Площадь поверхности тетраэдра равна 1. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Положительное число  увеличили на 60%, а положительное число — на 10%. При каком отношении сумма увеличится на 40%?

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой , где   — сила тока в рамке,  Тл — значение индукции магнитного поля,  м — размер рамки,   — число витков провода в рамке,  — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,15 Нм?

До кризиса фонд оплаты труда работников предприятия составлял 68% от прибыли предприятия. Во время кризиса  прибыль предприятия уменьшилась на 15%. На сколько процентов следует увеличить фонд оплаты труда, чтобы общие расходы на на зарплату работникам предприятия (в рублях) остались прежними?

Найдите точку минимума функции .

Стоимость пачки сливочного масла в сентября повысилась на 10%, а в октябре еще на 8%. На сколько процентов повысилась стоимость пачки за два месяца?

На рисунке показан график движения туриста по маршруту. На оси абсцисс откладывается время (в часах), на оси ординат — перемещение туриста (в километрах). Найдите среднюю скорость туриста на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч.

На клетчатой бумаге с размером клетки 2 2 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.

Решите уравнение:

В параллелограмме   . Найдите большую высоту параллелограмма.

На рисунке изображён график функции   и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции   в точке .

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы, если объем оставшейся части равен 27.

Найдите , если .

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием  см. Расстояние  от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 до 70 см, а расстояние  от линзы до экрана — в пределах от 160 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение .  Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

На одну порцию рисовой каши требуется 40 грамм риса и 0,12 литра молока. Какое наибольшее количество порций каши может приготовить дежурный, если в его распоряжении есть 1,5 кг риса и 3 литра молока?

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в период с июля по октябрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 2 × 2 изображён впи­сан­ный в окруж­ность угол ABC. Най­ди­те его гра­дус­ную величину.

При изготовлении подшипников диаметром 61 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,972. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 60,99 мм, или больше, чем 61,01 мм.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса  AD. Найдите CD, если BC=12, АС=6.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Найдите расстояние между вершинами   и  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью  км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением  км/ч Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 48 км от города. Ответ выразите в минутах.

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 6 минут, второй и третий — за 7 минут, а первый и третий — за 21 минуту. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

Для приготовления варенья из вишни берут ягоды и сахар в отношении 5:3. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 18 кг вишни?

На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля по маршруту. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время (в часах), на оси ор­ди­нат — прой­ден­ный путь (в километрах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния ав­то­мо­би­ля в первые 48 минут движения. Ответ дайте в км/ч.

Найдите площадь закрашенной фигуры, если размеры клеточки х:

Известно, что ученики класса, имеющие двойки по алгебре, составляют 15%, а ученики, имеющие двойки по геометрии, составляют  25%. Какова вероятность, что ученик имеет двойку и по алгебре, и по геометрии, если ученики, не имеющие двоек ни по одному предмету составляют 70%?

Решите уравнение

Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 26. Косинус острого угла равен . Найдите площадь трапеции.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале .

Найдите количество точек максимума функции  на отрезке .

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 6. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Найдите , если

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой , где   м,  — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Часы со стрелками показывают 2 часа 5 минут. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой?

Найдите наибольшее значение функции .

Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Какое наибольшее количество шоколадок можно получить, потратив не более 250 рублей в воскресенье?

На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 5 по 28 марта 1996 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену золота на момент закрытия торгов в период с 21 по 28 марта. (в долларах США за унцию).

На клетчатой бумаге с размером клетки 2×2 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.

На рисунке изображена карта Парка аттракционов. Петя с друзьями гуляют по дрожкам парка, на каждом разветвлении выбирая дорожку, по которой еще не ходили. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью ребята  придут к Колесу обозрения.

Решите уравнение

Площадь ромба равна 72. Одна из его диагоналей в 4 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

На рисунке изображён график — производной функции  . Найдите наименьшую абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой или совпадает с ней.

Вершина куба с ребром  является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину  

Найдите , если , при .

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением , где  (атм.) — давление в газе, — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 8 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Имеются два сосуда. Первый содержит 50 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 14% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 23% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке

В городе N живет 500000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 40% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

На графике показано изменение температуры двигателя в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель со второй по пятую минуту разогрева.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь заштрихованной фигуры равна 14. Найдите площадь внутреннего круга.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 14 очков. Результат округлите до сотых.

Найдите корень уравнения Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен , CD — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE=CB.  Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где  — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 7 м/с?

Объём конуса, описанного около правильной шестиугольной пирамиды, равен 64. Найдите объём конуса, вписанного в эту пирамиду.

Найдите значение выражения при .

При температуре  рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где    − коэффициент теплового расширения,  − температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3,6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 8 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 8 км. Ответ дайте в км/ч.

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Цена на электрический чайник была повышена на 24% и составила 1860 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах.
Определите по рисунку, на сколько вольт упадет напряжение за первый час работы фонарика.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Найдите корень уравнения .

Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале .  Найдите количество точек максимума функции  на отрезке .

Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на  .

Найдите значение выражения .

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону  (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 3,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых заказа. В первой бригаде было 11 рабочих, а во второй — 20 рабочих. Через 2 дня после начала работы в первую бригаду перешли 5 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0.5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 40 таблеток лекарства по 0.5 г Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 1 февраля по 28 февраля 2003 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольший курс евро в период с 13 по 27 февраля. Ответ дайте в рублях.

Найдите площадь закрашенной фигуры

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Основания трапеции равны 2 и 8. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

На рисунке изображен график некоторой функции . Функция   — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2/3 высоты. Объём жидкости равен 176 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Найдите значение , если .

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  м — начальная высота столба воды, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Расстояние между пристанями A и B равно 135 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 80 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Найдите наименьшее значение функции на отрезке